# 级联电路的传递函数

   

## A - 两个串联电路的传递函数公式

$$\qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)$$   基尔霍夫电流定律在上节点处
$$\qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)$$   基尔霍夫电压定律在左侧闭合回路上
$$\qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)$$   基尔霍夫电压定律在右侧闭合回路上
$$\qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)$$   欧姆定律用于 $$R_2$$ 上的电压

$$\qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V)$$

$$\qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2}$$

$H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I)$

## B - 两个串联电路传递函数公式的应用

$$\qquad Z_1 = R_1$$ , $$Z_2 = R_2$$ , $$Z_3 = 0$$ 和 $$Z_4 = L s$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2}$$

$$\qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2}$$

$$\qquad Z_1 = R_1$$ , $$Z_2 = R_2$$ , $$Z_3 = \dfrac{1}{C s}$$ 和 $$Z_4 = L s$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2}$$

$$\qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2}$$

$$\qquad Z_1 = 100$$ , $$\qquad Z_2 = 0.1 s$$ , $$Z_3 = 200$$ , $$Z_4 = 0.3 s$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000}$$

$$\qquad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega }$$

## 上述问题的解决方案

$$\qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)}$$

$$\qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2}$$

$$\qquad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2}$$

$$\qquqquad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}}$$

$$\qquqquqquqquqqu H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) }$$

$$\qquqquqquqquqqu H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2}$$

$$\qquqquqquqquqqu H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) }$$