级联电路的传递函数
目录
\( \) \( \) \( \) \( \)
本文介绍了两个串联电路的一般传递函数，
并通过示例和解决方案解释了其在不同电路中的应用。
还包括问题及其解决方案。问题和解决方案也包括在内。
A - 两个串联电路的传递函数公式
我们考虑下图所示的两个串联电路，并找出以四个阻抗 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \) 表示的传递函数 \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)。
通用两个串联电路
我们使用基尔霍夫的电流和电压定律以及欧姆定律来写出方程：
\( \qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) 基尔霍夫电流定律在上节点处
\( \qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)\) 基尔霍夫电压定律在左侧闭合回路上
\( \qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)\) 基尔霍夫电压定律在右侧闭合回路上
\( \qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)\) 欧姆定律用于 \( R_2 \) 上的电压
使用方程 (II) 和 (IV) 写出传递函数 \( H( s ) \) 如下：
\( \qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
使用方程 (I) 在 \( H(s)\) 中将 \( I \) 替换为 \( I_1 + I_2 \)
\( \qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
将上述分子和分母除以 \( I_1\)，简化并重新写为：
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V) \)
使用方程 (III) 获得：
\( \qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
在 \( (IV) \) 中将 \( \dfrac{I_2}{I_1} \) 替换为上式并重新排列以获得 \( H(s) \)
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I) \]
B - 两个串联电路传递函数公式的应用
现在展示如何在任何可识别为两个串联电路的电路中使用上述公式。
示例 1
求解下图电路的频域传递函数。
示例 1 解决方案
将给定电路与上面的通用电路进行比较，我们可以写出：
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = 0 \) 和 \( Z_4 = L s \)
其中 \( s = j \omega \)，而 \( \omega \) 是角频率。
现在我们将阻抗 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \) 代入上述通用公式，写出：
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
将 \( s = j \omega \) 代入并写出：
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
示例 2
求解下图电路的频域传递函数。
示例 2 解决方案
将给定电路与上面的通用电路进行比较，我们可以写出：
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) 和 \( Z_4 = L s \)
其中 \( s = j \omega \) 而 \( \omega \) 是角频率。
现在我们将阻抗 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \) 代入上述通用公式，写出：
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
分子和分母同时乘以 \( C s \) 并简化：
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
将 \( s = j \omega \) 代入并写出：
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
示例 3
求解下图电路的频域传递函数，并绘制其幅值和相位图。
示例 3 解决方案
使用上述公式 (I)
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)
现在我们使用部分 b) 电路中给定的数值计算阻抗 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \)。
\( \qquad Z_1 = 100 \)
,
\( \qquad Z_2 = 0.1 s \) , \( Z_3 = 200 \) , \( Z_4 = 0.3 s \)
现在我们代入并得到：
\( \qquad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
简化得到：
\( \qquad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
将 \( s \) 替换为 \( j\; \omega \)
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega } \)
问题与解决方案
找出下图中 A 和 B 部分电路的频域传递函数。
部分 A
部分 B
上述问题的解决方案
部分 A
设 \( \qquad s = j \; \omega \)，\( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \)，\( Z_3 = R_3 \) 和 \( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
将 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \) 的表达式代入上述公式 (I)
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)
分子和分母乘以 \( (C L s^2 + 1) \) 并简化
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
展开并因式分解分母中的表达式
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
将 \( s \) 替换为 \( j \omega \) 得到
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
部分 B
设
\( \qquad s = j \omega \)，\( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \)，\( Z_3 = R_3 \) 和 \( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
将 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 和 \( Z_4 \) 的表达式代入上述公式 (I)
\( \qquqquad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)
分子和分母同时乘以表达式 \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) 并简化
\( \qquqquqquqquqqu H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) } \)
展开分母中的表达式
\( \qquqquqquqquqqu H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
将 \( s = j \omega \) 代入并写出
\( \qquqquqquqquqqu H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)
更多参考和链接
工程数学示例和解决方案