频域中的传递函数

目录

频域中的传递函数用于交流电路的传递函数在此展示，包含示例和解决方案。还包括问题及其解决方案。
使用复数在交流电路中的应用和 在RLC电路中进行计算的概念来开发和计算频域中的传递函数。
请注意，我们通常使用\( j \omega \)来表示阻抗。然而，对于更复杂的阻抗表达式，使用\( s = j \omega \)可能会使表达式更简单。
更多关于级联电路的传递函数的内容也包括在内。

A - 电容器和电感器阻抗的频率特性

电容器和电感器对不同频率的响应是不同的。
在给定的频率\( \omega \)下，电容值为\( C \)的电容器的阻抗\( X_C\)为 \[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \] 电感值为\( L \)的电感器的阻抗\( X_L\)为 \[ Z_L = j \; \omega L \] \( X_C \)和\( X_L \)都是复数形式的阻抗，每个的模数为 \[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \] \[ | Z_L | = \omega L \] 设\( C = 100 \mu \; F \)和\( L = 100 \; mH \)，绘制\( | Z_C | \)和\( | Z_L | \)的图形。
下面显示了\( | Z_C | \)和\( | Z_L | \)对角频率\( \omega \)的图形。\( |Z_C| \)的图形是双曲线，而\( |Z_L| \)的图形是一条直线。



重要特性需注意：
1) 当频率很小时，电容器的阻抗\( |Z_C| \)非常大，而电感器的阻抗\( |Z_L| \)非常小（接近于零）。
2) 当频率很大时，电容器的阻抗\( |Z_C| \)非常小（接近于零），而电感器的阻抗\( |Z_L| \)很大。
3) 一般来说，包括电阻、电容器和电感器组合的阻抗是频率的函数，因此电压和电流也是频率的函数。
另外，当阻抗很大时，我们可以假设它表现得像一个开路，而当阻抗很小时，它表现得像一个短路。
以上特性有助于我们理解不同交流电路的特性。
请注意，如果我们写作\( s = j \omega \)，则电容值为\( C \)的电容器的阻抗可以写成 \[ Z_C = \; \dfrac{1}{s \; C} \] 电感值为\( L \)的电感器的阻抗可以写成 \[ Z_L = s L \]

复数的极坐标形式回顾

在复数中，虚数单位定义为\( j = \sqrt {-1} \)或\( j^2 = -1 \)。
复数\( Z = a + j b \)的极坐标形式表示为
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
其中，\( |Z| \)和\( \theta \)分别是\( Z \)的模数和辐角，定义如下：
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) 和 \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \)，范围为\( -\pi \lt \theta \le \pi \)。
在电子交流电路中使用复数的极坐标形式的主要优势之一是乘除这些数的简便性。
设两个复数\( Z_1 \)和\( Z_2 \)的极坐标形式如下：
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) 和 \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
乘积
\( Z_1 \)和\( Z_2 \)的乘积为：
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
除法
\( Z_1 \)和\( Z_2 \)的除法为：
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
乘方
\( Z_1^n \)的表示形式为：
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)

B-频域中的电压传递函数

我们考虑下图中的简单电压分压器，并使用电压和阻抗来表达输出电压为：

示例 1
求下图电路的频域传递函数，并绘制其幅值和相位的图形。



示例 1 的解决方案
使用交流电路中的阻抗公式， 在以下RC电路中，输出电压（复数形式）\( V_{out} \)表示为：
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
简化上述表达式，并将电压传递函数\( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)在频域中表示为：

\( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \)

\( H(\omega) \)是频域中的传递函数，因为它给出了输出与输入之间的关系，并且它取决于频率\( \omega \)。 传递函数是一个复数，可以表示为极坐标形式，上面已经回顾过。 \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] 其中，\( | H(\omega) | \)是\( H(\omega) \)的模数（幅值），而\( \phi(\omega) \)是\( H(\omega) \)的辐角（相位）。
上面得到的传递函数\( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \)的分母可以表示为极坐标形式：
\( 1 = 1 \angle 0 \)
分母可以表示为：
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
因此，使用极坐标形式下复数的除法：\( \dfrac{|z_1| \angle \phi_1 }{|z_2| \angle \phi_2 } = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \angle (\phi_1 - \phi_2) \)，我们将\( H(\omega) \)表示为：
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
使用上面给出的电容和电感的数值，计算\( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\)。
因此，
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)

下图显示了传递函数幅值\( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \)随频率变化的图形。



下图显示了传递函数相位\( - \arctan(0.02 \; \omega) \)（转换为度数）随频率变化的图形。

示例 2
求下图电路的频域传递函数，并绘制其幅值和相位的图形。



示例 2 的解决方案
使用交流电路中的阻抗公式， 在以下RLC电路中，输出电压（复数形式）\( V_{out} \)表示为：
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)

将分子和分母同时乘以\( j \; \omega \; C \)，简化以获得频域中的电压传递函数\( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)：

\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)

频域中的传递函数可以表示为极坐标形式： \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] 传递函数的幅值\( | H(\omega) | \)表示为：

\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)

传递函数的相位\( \phi(\omega) \)表示为：

\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
下图显示了传递函数幅值\( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \)和相位\( \phi(\omega) \)随频率变化的图形。

示例 3
求下图电路的频域传递函数，并绘制其幅值和相位的图形。



示例 3 的解决方案
为了便于操作表达式，设 \[ s = j \omega \] 并将电容器\( C_1 \)和\( C_2 \)的阻抗表示为\( s \)： \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
和
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)

我们现在使用基尔霍夫的电流定律和欧姆定律来写出以下方程：
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\)   上节点的基尔霍夫电流定律
\( V_{in} = R_1 I + Z_{C_1} I_1 \qquad (II)\)   左回路上的基尔霍夫电压定律
\( Z_{C_1} I_1 = (Z_{C_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\)   右回路上的基尔霍夫电压定律
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\)   \( R_2 \)上的欧姆定律

使用方程(II)和(IV)写出传递函数\( H(\omega ) \)： \( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{C_1} I_1} \)
使用方程(I)将\( H(\omega)\)中的\( I \)替换为\( I_1 + I_2 \)： \( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 ( I_1 + I_2) + Z_{C_1} I_1} \)
将上式的分子和分母同时除以\( I_2 \)，简化并重写为： \( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{C_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
使用方程(III)得到 \( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{C_2} + R_2}{Z_{C_1}} \)

将\( \dfrac{I_1}{I_2} \)替换为\( \dfrac{Z_{C_2} + R_2}{Z_{C_1}} \)，并重排得到\( H(\omega) \)： \( H(s) = \dfrac{R_2 Z_{C_1} }{(R_1 + Z_{C_1})(R_2 + Z_{C_2} ) + R_1 Z_{C_1}} \)

我们现在将电容器的数值代入： \( Z_{C_1} = \dfrac{2 \cdot 10^4}{s} \) 和 \( Z_{C_2} = \dfrac{10^4}{s} \)
代入得到： \( H(s) = \dfrac{250 \times \dfrac{2 \cdot 10^4}{s} }{\left(100 + \dfrac{2 \cdot 10^4}{s}\right) \left(250 + \dfrac{10^4}{s} \right) + 100 \times \dfrac{2 \cdot 10^4}{s}} \)
简化： \( H(s) = \dfrac{ 200 s}{s^2 + 320 s + 8000} \)
将\( s \)替换为\( j\; \omega \)： \( H(\omega) = \dfrac{ j \; 200 \; \omega}{-\omega^2 + 8000 + j \; 320 \; \omega } \)

\( | H(\omega)| = \dfrac{200 \; \omega}{\sqrt {(8000 - \omega^2)^2 + (320 \; \omega)^2} } \)

\( \phi(\omega) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan \left(\dfrac{320 \; \omega}{-\omega^2 + 8000} \right) \)
下图显示了传递函数幅值\( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \)和相位\( \phi(\omega) \)随频率变化的图形。

带解决方案的问题

在部分A和B中，求解下列电路的频域传递函数。
A部分

B部分

C部分
使用级联电路公式求解下图电路的频域传递函数。

以上问题的解决方案

A部分
设\( s = j \; \omega \)，\( Z_C = \dfrac{1}{C \; s} \)为电容器\( C \)的阻抗，\( Z_L = L \; s \)为电感器\( L \)的阻抗。
与\( Z_L \)并联的\( Z_C \)等效阻抗\( Z \)表示为：
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
可以写成：
\( Z = \dfrac{Z_C \; Z_L}{ Z_C + Z_L } \)
输出电压\( V_{out} \)表示为：
\( V_{out} = \dfrac { V_{in}}{ Z + R } R \)
传递函数表示为：
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R} \)
用\( C \)和\( L \)表示\( Z \)：
\( Z = \dfrac{ \dfrac{1}{C \; s} \; L \; s }{ \dfrac{1}{C \; s} + L \; s } = \dfrac{L \; s}{ 1 + L \; C \; s^2} \)

将\( Z \)代入到\( H(\omega) \)中得到：
\( H(s) = \dfrac{R (1 + L \; C \; s^2)}{L \; s + R \; (1 + L \; C \; s^2)} \\\\ \quad = \dfrac{R\;L\;C \; s^2 + R}{R\;L\;C s^2 + L\;S + R} \)

将\( s = j \omega \)代入：
\[ H(\omega) = \dfrac{R\;L\;C \; \omega^2 + R}{-R\;L\;C \; \omega^2 + R + j \; \omega L } \]

B部分
设 \[ s = j \omega \] 并将电容器\( C_1 \)和\( C_2 \)的阻抗表示为：
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
和
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
使用基尔霍夫的电流和电压定律以及欧姆定律，写出4个方程，类似于上面的示例3，并求解以得到传递函数。
\( H(s) = \dfrac{R_1 \; C_1 \; s }{(R_1 \; C_1 \; s + 1)(R_2 \; C_2 \; s + 1) + R_1 \; C_2 \; s } \qquad (I) \)

\( R_1 C_1 = 2 \cdot 10^3 \times 100 \cdot 10^{-6} = \dfrac{1}{5} \)

\( R_2 C_2 = 3 \cdot 10^3 \times 200 \cdot 10^{-6} = \dfrac{3}{5} \)

\( R_1 \; C_2 = 2 \cdot 10^3 \times 200 \cdot 10^{-6} = \dfrac{2}{5} \)
将\( R_1 \; C_1 \)和\( R_2 \; C_2 \)代入到(I)中，展开分母并将\( s \)替换为\( j \; \omega \)以获得频域传递函数。
\( H(s) = \dfrac{ 5 s }{ 3 s^2 + 30 s + 25 } \)

\[ H(\omega) = \dfrac{ j \; 5 \;\omega }{ - 3 \; \omega^2 + 25 + j \; 30 \; \omega } \]

C部分


\( H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)

我们现在使用部分B中给出的电路的数值计算阻抗\( Z_1, Z_2, Z_3 \)和\( Z_4 \)。
\( Z_1 = 100 \) , \( Z_2 = 0.1 s \)，\( Z_3 = 200 \)，\( Z_4 = 0.3 s \)
代入得到：
\( H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
简化：
\( H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
将\( s \)替换为\( j\; \omega \)
\[ H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000 + j \; 6000 \; \omega } \]

更多参考和链接

• 在交流电路中使用复数
• 串联RLC电路中的电流和电压计算
• RLC电路中的计算
• 串联和并联阻抗计算
• 计算交流电路中的等效阻抗.
• 交流电路中阻抗的公式
• 极坐标形式的复数