计算交流电路中的等效阻抗

目录

关于如何使用串联和并联阻抗规则计算各种交流电路中的等效阻抗，并将其以标准形式、复数形式和极坐标形式表示的例子。也展示了这些例子的详细解决方案。

带有解决方案的例子

例子 1
求下图中A点和B点之间的等效阻抗，并将其写成指数形式和极坐标形式。

例子 1 解决方案
设\( Z_1 \)为电阻器R的阻抗，因此\( Z_1 = R\)
设\( Z_2 \)为并联的电容器\( C \)和电感器\( L \)的阻抗。
\( Z_1 \)和\( Z_2 \)串联，等效阻抗\( Z_{AB} \)由串联阻抗规则给出：
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

电容器电容\( C \)的复数形式的阻抗为\( \dfrac{1}{ j \omega C} \)
电感器电感\( L \)的复数形式的阻抗为\( j \omega L \)
现在使用并联阻抗规则来计算\( Z_2 \)：
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
可以写成
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
将右边写成共同分母
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
解出\( Z_2 \)
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
用\( Z_1 \)和\( Z_2 \)的表达式代入得到\( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
求\( Z_{AB} \)的模\( |Z_{AB}| \) 和辐角\( \theta \)
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
在指数形式中，等效阻抗表示为：
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
在极坐标形式中表示为：
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

例子 2
求下图中A点和B点之间的等效阻抗，并将其写成指数形式和极坐标形式，已知：
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) 信号频率 \( f = 1.5 \; kHz \)

例子 2 解决方案
设\( Z_1 \)为并联的电容器\( C_1 \)和电感器\( L_1 \)的阻抗。
设\( Z_2 \)为并联的电容器\( C_2 \)和电感器\( L_2\)的阻抗。
\( Z_1 \)和\( Z_2 \)串联，如下图所示，因此使用串联阻抗规则计算\( Z_{AB} \)如下：
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


现在使用并联阻抗规则计算\( Z_1 \)和\( Z_2 \)如下：
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
重写上式为：
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
将右边写成共同分母：
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
解出\( Z_1 \)
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \)可以类似于\( Z_1 \)的方式计算，结果为：
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
现在用\( Z_1 \)和\( Z_2 \)的表达式代入\( Z_{AB} \)得到：
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
提取出因子\( j \omega \)并将\( Z_{AB} \)重写为：
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
将\( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \)和\( \omega = 2 \pi f \)的数值代入\( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
注意到\( Z_{AB} \)是纯虚数，因此\( Z_{AB} \)的模\( |Z_{AB}| \)和辐角\( \theta \)为：
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
指数形式：
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
极坐标形式：
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

例子 3
求下图中A点和B点之间的等效阻抗，并将其写成指数形式和极坐标形式，已知：
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 信号频率 \( f = 0.5 \; kHz \)

例子 3 解决方案
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) 和 \( Z_3 \) 并联，它们的等效阻抗 \( Z_{2,3} \) 使用并联阻抗规则如下：
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \) 和 \( Z_{2,3} \) 串联，因此
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
代入：
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
代入数值 \( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 信号频率 \( f = 0.5 \; kHz \) 得到：
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
\( Z_{AB} \) 的模：
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
\( Z_{AB} \) 的辐角：
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) 或 \( \theta = -17.07^{\circ} \)
因此在指数形式中：
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
在极坐标形式中：
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

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