Viene presentata la funzione di trasferimento generale
di due circuiti in cascata e la sua applicazione a diversi circuiti è spiegata con esempi e relative soluzioni.
Sono inclusi anche problemi e relative soluzioni. Problemi e relative soluzioni sono inclusi.
A - Formula della Funzione di Trasferimento di Due Circuiti in Cascata
Consideriamo i due circuiti in cascata mostrati di seguito e troviamo la funzione di trasferimento \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) in termini delle quattro \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \)
Circuiti in Cascata Generali
Utilizziamo le leggi di corrente e tensione di Kirchhoff e la legge di Ohm per scrivere le equazioni
\( \qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Legge di corrente di Kirchhoff al nodo superiore
\( \qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)\) Legge di tensione di Kirchhoff sul circuito chiuso a sinistra
\( \qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)\) Legge di tensione di Kirchhoff sul circuito chiuso a destra
\( \qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)\) Legge di Ohm per la tensione attraverso \( R_2 \)
Usiamo le equazioni (II) e (IV) per scrivere la funzione di trasferimento \( H( s ) \) come segue
\( \qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
Usiamo l'equazione (I) per sostituire \( I \) con \( I_1 + I_2 \) in \( H(s)\) sopra
\( \qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
Dividiamo il numeratore e il denominatore di quanto sopra per \( I_1\), semplifichiamo e riscriviamo come
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V) \)
Usiamo l'equazione (III) per ottenere
\( \qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
Sostituisci \( \dfrac{I_2}{I_1} \) con quanto sopra in \( (IV) \) e riorganizziamo per ottenere \( H(s) \)
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I) \]
B - Applicazione della Formula della Funzione di Trasferimento di Due Circuiti in Cascata
Viene ora mostrato come la formula sopra potrebbe essere utilizzata in qualsiasi circuito che può essere identificato come due circuiti in cascata.
Esempio 1
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito seguente.
Soluzione all'Esempio 1
Confrontando il circuito dato con il circuito generale sopra, possiamo scrivere
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = 0 \) e \( Z_4 = L s \)
dove \( s = j \omega \) e \( \omega \) è la frequenza angolare.
Ora sostituiamo le impedenze \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \) nella formula generale ottenuta sopra per scrivere
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Sostituisci \( s = j \omega \) e scrivi
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Esempio 2
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito seguente.
Soluzione all'Esempio 2
Confrontando il circuito dato con il circuito generale sopra, possiamo scrivere
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) e \( Z_4 = L s \)
dove \( s = j \omega \) e \( \omega \) è la frequenza angolare.
Ora sostituiamo le impedenze \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \) nella formula generale ottenuta sopra per scrivere
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
Moltiplica numeratore e denominatore per \( C s \) e semplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
Sostituisci \( s = j \omega \) e scrivi
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
Esempio 3
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito sottostante e rappresenta graficamente la sua magnitudine e il suo argomento (o fase).
Soluzione all'Esempio 3
Usa la formula in (I) sopra
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)
Ora calcoliamo le impedenze \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \) utilizzando i valori numerici dati nel circuito nella parte b).
\( \qquad Z_1 = 100 \)
,
\( \qquad Z_2 = 0.1 s \) , \( Z_3 = 200 \) , \( Z_4 = 0.3 s \)
Ora sostituiamo per ottenere
\( \qquad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
Semplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
Sostituisci \( s \) con \( j\; \omega \)
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega } \)
Problemi con Soluzioni
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze per ciascun circuito sottostante nelle parti A e B.
Parte A
Parte B
Soluzioni ai Problemi Sopra
Parte A
Sia \( \qquad s = j \; \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = R_3 \) e \( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
Sostituisci \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \) con le loro espressioni nella formula (I) sopra
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)
Moltiplica numeratore e denominatore per \( (C L s^2 + 1) \) e semplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
Espandi e fattorizza le espressioni nel denominatore
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Sostituisci \( s \) con \( j \omega \) per ottenere
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Parte B
Sia
\( \qquad s = j \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \), \( Z_3 = R_3 \) e \( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
Sostituisci \( Z_1, Z_2, Z_3 \) e \( Z_4 \) con le loro espressioni nella formula (I) sopra
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)
Moltiplica il numeratore e il denominatore per l'espressione \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) e semplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) } \)
Espandi le espressioni nel denominatore
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
Raggruppa i termini con \( s^2 \) e i termini con \( s \) e fattorizza
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 )s^2 + (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2)s +R_2R_1R_3 +R_4R_2R_1 } \)
Sostituisci \( s = j \omega \) e scrivi
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)
