La funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze dei circuiti in corrente alternata è presentata con esempi e relative soluzioni. Problemi e le loro soluzioni sono inclusi. I problemi e le relative soluzioni sono anche incluse.
Le idee sull'utilizzo dei numeri complessi nei circuiti in corrente alternata e i calcoli delle correnti nei circuiti RLC vengono utilizzati per sviluppare e calcolare le funzioni di trasferimento nel dominio delle frequenze.
Si osserva che di solito esprimiamo le impedenze usando \( j \omega \). Tuttavia, per espressioni più complesse delle impedenze, è forse più facile usare \( s = j \omega \) per ottenere espressioni semplificate.
Ulteriori informazioni sulle funzioni di trasferimento dei circuiti in cascata sono incluse.
### A - Comportamento in Frequenza delle Impedenze di Condensatori e Induttori
I condensatori e gli induttori si comportano in modo diverso a diverse frequenze.
A una data frequenza \( \omega \), l'impedenza \( X_C \) di un condensatore con capacità \( C \) è data da
\[ Z_C = \frac{1}{j \omega C} \]
e l'impedenza \( X_L \) di un induttore con induttanza \( L \) è data da
\[ Z_L = j \omega L \]
Sia \( X_C \) che \( X_L \) sono impedenze in forma complessa e il modulo di ciascuna è dato da
\[ | Z_C | = \frac{1}{\omega C} \]
\[ | Z_L | = \omega L \]
Sia \( C = 100 \mu F \) e \( L = 100 mH \) e traccia \( | Z_C | \) e \( | Z_L | \).
I grafici di \( | Z_C | \) e \( | Z_L | \) rispetto alla frequenza angolare \( \omega \) sono mostrati di seguito. Il grafico di \( | Z_C | \) è quello di un'iperbole e quello di \( | Z_L | \) è quello di una retta.
Proprietà importanti da notare:
1) Quando la frequenza è piccola e vicina a zero, l'impedenza \( | Z_C | \) del condensatore è molto grande e l'impedenza \( | Z_L | \) dell'induttore è molto piccola (vicina a zero).
2) Quando la frequenza è grande, l'impedenza \( | Z_C | \) del condensatore è molto piccola (vicina a zero) e l'impedenza \( | Z_L | \) dell'induttore è grande.
3) In generale, le impedenze, comprese le combinazioni di resistenze, condensatori e induttori, sono funzioni della frequenza e quindi le tensioni e le correnti sono anche funzioni della frequenza.
Inoltre, quando un'impedenza è grande, possiamo assumere che si comporti come un circuito aperto e quando l'impedenza è piccola si comporta come un cortocircuito.
Le proprietà sopra ci aiutano a comprendere le proprietà dei diversi circuiti in corrente alternata.
Si osserva che se scriviamo \( s = j \omega \), le impedenze del condensatore con capacità \( C \) possono essere scritte come
\[ Z_C = \frac{1}{sC} \]
le impedenze dell'induttore con induttanza \( L \) possono essere scritte come
\[ Z_L = sL \]
Revisione dei Numeri Complessi in Forma Polare
Nei numeri complessi, l'unità immaginaria è definita da \( j = \sqrt {-1} \) o \( j^2 = - 1 \)
La forma polare di un numero complesso \( Z = a + j b \) è data da
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
dove \( |Z| \) e \( \theta \) sono il modulo e l'argomento di \( Z \), rispettivamente, e sono definiti da
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) e \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) entro il range \( -\pi \lt \theta \le \pi \)
Uno dei principali vantaggi nell'utilizzare numeri complessi in forma polare nei circuiti elettronici in corrente alternata è la facilità di dividere e moltiplicare questi numeri.
Siano due numeri complessi \( Z_1 \) e \( Z_2 \) dati in forma polare come segue
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) e \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
Prodotto
Il prodotto di \( Z_1 \) e \( Z_2 \) è dato da
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; (\theta_1 + \theta_2) \)
Divisione
La divisione di \( Z_1 \) e \( Z_2 \) è data da
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; (\theta_1 - \theta_2) \)
Potenza
\( Z_1^n \) è dato da
\( Z_1^n = |Z_1|^n \; \angle \; (n \theta_1) \)
B-Funzione di Trasferimento di Tensione nel Dominio delle Frequenze
Consideriamo il semplice divisore di tensione qui sotto e utilizziamo le tensioni e le impedenze per esprimere la tensione in uscita come
Fig.1 - Divisore di Tensione
Utilizzando le leggi di Kirchhoff e Ohm estese ai circuiti in corrente alternata dove \( Z_1 \) e \( Z_2 \) sono impedenze complesse, otteniamo
\( V_{out} = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} V_{in}\)
dove \( V_{out} \) e \( V_{in} \) sono la forma complessa delle tensioni \( v_{out} \) e \( v_{in} \).
In generale \( Z_1 \) e \( Z_2 \) dipendono dalla frequenza \( \omega \) della sorgente di tensione \( v_i \) e il rapporto \( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) è chiamato funzione di trasferimento di tensione nel dominio delle frequenze.
Nell'esempio sopra \( H(\omega) \) è dato da
\( H(\omega) = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} \)
La funzione di trasferimento \( H \) è una funzione di \( \omega \) perché in generale le impedenze sono funzioni della frequenza della sorgente di tensione (o corrente) come visto sopra.
Esempio 1
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito qui sotto e rappresenta graficamente la sua magnitudine e l'argomento (o fase).
Soluzione all'Esempio 1
Utilizzando le formule delle impedenze nei circuiti in corrente alternata, nel circuito RC qui sotto, la tensione in uscita (in forma complessa) \( V_{out} \) è data da
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
Semplificando quanto sopra e scrivendo la funzione di trasferimento di tensione \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) nel dominio delle frequenze come segue
\( H(\omega) \) è una funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze poiché fornisce una relazione tra l'uscita e l'ingresso e dipende dalla frequenza \( \omega \).
La funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze è un numero complesso e può essere scritta in forma polare che è stata esaminata in precedenza.
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
dove \( | H(\omega) | \) è il modulo (magnitudine) di \( H(\omega) \) e \( \phi(\omega) \) è l'argomento (fase) di \( H(\omega) \).
Il denominatore di \( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \) ottenuto sopra, può essere scritto in forma polare come
\( 1 = 1 \angle 0 \)
e il denominatore può essere scritto come
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
Quindi utilizzando la divisione di numeri complessi in forma polare: \( \dfrac{|z_1| \angle \phi_1 }{|z_2| \angle \phi_2 } = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \angle (\phi_1 - \phi_2) \) , scriviamo \( H(\omega) \) come segue
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
Utilizzando i valori numerici della capacità e dell'induttanza dati sopra, valutiamo \( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\)
Quindi
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)
Il grafico della magnitudine della funzione di trasferimento data dall'espressione \( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \) contro la frequenza omega è mostrato di seguito.
Il grafico della fase della funzione di trasferimento data dall'espressione \( - \arctan(0.02 \; \omega) \) (e convertita in gradi) contro la frequenza omega è mostrato di seguito.
Esempio 2
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito qui sotto e rappresenta graficamente la sua magnitudine e l'argomento (o fase).
Soluzione all'Esempio 2
Utilizzando le formule delle impedenze nei circuiti in corrente alternata,
nel circuito RLC qui sotto, la tensione in uscita (in forma complessa) \( V_{out} \) è data da
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L
\; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)
Moltiplicando numeratore e denominatore per \( j \; \omega \; C \) e semplificando per ottenere la funzione di trasferimento di tensione \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) nel dominio delle frequenze come
\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)
La funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze può essere scritta in forma polare come
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
La magnitudine \( | H(\omega) | \) di \( H(\omega) \) è data da
\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)
La fase \( \phi(\omega) \) di \( H(\omega) \) è data da
\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
I grafici di \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) e della fase \( \phi(\omega) \) sono mostrati di seguito.
Esempio 3
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze del circuito qui sotto e rappresenta graficamente la sua magnitudine e l'argomento (o fase).
Soluzione all'Esempio 3
Per semplificare la manipolazione delle espressioni, sia
\[ s = j \omega \]
e esprimiamo le impedenze dei condensatori \( C_1 \) e \( C_2 \) in termini di \( s \) come segue
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
e
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Ora utilizziamo le leggi di Kirchhoff corrente e tensione e Ohm per scrivere le equazioni
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Legge di Kirchhoff sulla corrente al nodo superiore
\( V_{in} = R_1 I + Z_{c_1} I_1 \qquad (II)\) Legge di Kirchhoff sulla tensione sul percorso chiuso a sinistra
\( Z_{c_1} I_1 = (Z_{c_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\) Legge di Kirchhoff sulla tensione sul percorso chiuso a destra
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\) Legge di Ohm per la tensione attraverso \( R_2 \)
Usiamo le equazioni (II) e (IV) per scrivere la funzione di trasferimento \( H(\omega ) \) come segue
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{c_1} I_1} \)
Usiamo l'equazione (I) per sostituire \( I \) con \( I_1 + I_2 \) in \( H(\omega)\) sopra
\( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 ( I_1 + I_2) + Z_{c_1} I_1} \)
Dividiamo numeratore e denominatore del precedente per \( I_2 \), semplifichiamo e riscriviamo come
\( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{c_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
Usiamo l'equazione (III) per ottenere
\( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \)
Sostituisci \( \dfrac{I_1}{I_2} \) con \( \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \) in \( (IV) \) e riarrangia per ottenere \( H(\omega) \)
\( \phi(\omega) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan \left(\dfrac{320 \; \omega}{-\omega^2 + 8000} \right) \)
I grafici di \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) e della fase \( \phi(\omega) \) sono mostrati di seguito.
Problemi con Soluzioni
Trova la funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze per ciascun circuito qui sotto nelle parti A e B.
Parte A
Parte B
Parte C
Applica la formula di due circuiti in cascata per trovare la funzione di trasferimento, nel dominio delle frequenze, del circuito mostrato di seguito.
Soluzioni ai Problemi Sopra
Parte A
Sia \( s = j \; \omega \)
, \( Z_C = \dfrac{1}{C \; s} \) l'impedenza del condensatore \( C \) e \( Z_L = L \; s \) l'impedenza dell'induttore \( L \).
L'impedenza \( Z \) equivalente a \( Z_C \) in parallelo a \( Z_L \) è data da
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
che può essere scritta come
\( Z = \dfrac{Z_C \; Z_L}{ Z_C + Z_L } \)
La tensione \( V_{out} \) è data da
\( V_{out} = \dfrac { V_{in}}{ Z + R } R \)
La funzione di trasferimento è data da
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R} \)
Calcolare \( Z \) in funzione di \( C \) e \( L \).
\( Z = \dfrac{ \dfrac{1}{C \; s} \; L \; s }{ \dfrac{1}{C \; s} + L \; s } = \dfrac{L \; s}{ 1 + L \; C \; s^2} \)
Sostituire \( Z \) con la sua espressione sopra in \( H(\omega) \) per ottenere
\( H(s) = \dfrac{R (1 + L \; C \; s^2)}{L \; s + R \; (1 + L \; C \; s^2)} \\\\
\quad = \dfrac{R\;L\;C \; s^2 + R}{R\;L\;C s^2 + L\;S + R}
\)
Sostituire \( s = j \omega \) per ottenere
\[ H(\omega) = \dfrac{R\;L\;C \; \omega^2 + R}{-R\;L\;C \; \omega^2 + R + j \; \omega L } \]
Parte B
Sia
\[ s = j \omega \]
e esprimiamo le impedenze dei condensatori \( C_1 \) e \( C_2 \) come segue
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_
1} \)
e
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Usiamo le leggi di corrente e tensione di Kirchhoff e la legge di Ohm per scrivere 4 equazioni in modo molto simile a quanto fatto nell'esempio 3 sopra e risolvere per ottenere la funzione di trasferimento.
\( H(s) = \dfrac{R_1 \; C_1 \; s }{(R_1 \; C_1 \; s + 1)(R_2 \; C_2 \; s + 1) + R_1 \; C_2 \; s } \qquad (I) \)
\( R_1 \; C_2 = 2 \cdot 10^3 \times 200 \cdot 10^{-6} = \dfrac{2}{5} \)
Sostituire \( R_1 \; C_1 \) e \( R_2 \; C_2 \) con i loro valori numerici, espandere il denominatore e sostituire \( s \) con \( j \; \omega \) in (I) sopra per ottenere la funzione di trasferimento nel dominio \( s \) e delle frequenze.
\( H(s) = \dfrac{ 5 s }{ 3 s^2 + 30 s + 25 } \)
