Calcola l'Impedenza Equivalente nei Circuiti CA

Indice

Esempi su come utilizzare le regole delle impedenze collegate in serie e parallelo per calcolare le impedenze equivalenti in vari circuiti CA e presentarle come numeri complessi nelle forme standard, complessa e polare. Sono presentate anche soluzioni dettagliate degli esempi.

Esempi con Soluzioni

Esempio 1
Trova l'impedenza equivalente tra i punti A e B nel circuito dato di seguito e scrivila in forma esponenziale e forma polare. .

Soluzione all'Esempio 1
Sia \( Z_1 \) l'impedenza del resistore R e quindi \( Z_1 = R\)
Sia \( Z_2 \) l'impedenza del condensatore \( C \) e dell'induttore \( L \) che sono in parallelo.
\( Z_1 \) e \( Z_2 \) sono in serie e l'impedenza equivalente \( Z_{AB} \) è data dalla regola delle impedenze in serie da
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

L'impedenza di un condensatore con capacità \( C \) in forma complessa è uguale a \( \dfrac{1}{ j \omega C} \)
L'impedenza di un induttore con induttanza \( L \) in forma complessa è uguale a \( j \omega L \)
Usiamo ora la regola delle impedenze in parallelo per calcolare \( Z_2 \) come
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
che può essere scritta come
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
Scriviamo il lato destro con un denominatore comune
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
Risolviamo per \( Z_2 \)
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Sostituisci \( Z_1 \) e \( Z_2 \) con le loro espressioni per ottenere \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Trova il modulo \( |Z_{AB}| \) e l'argomento \( \theta \) di \( Z_{AB} \)
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
In forma esponenziale, l'impedenza equivalente è data da
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
In forma polare è scritta come
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right )^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

Esempio 2
Trova l'impedenza equivalente tra i punti A e B nel circuito dato di seguito e scrivila in forme esponenziale e polari dati:
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) la frequenza del segnale \( f = 1.5 \; kHz \)

Soluzione all'Esempio 2
Sia \( Z_1 \) l'impedenza del condensatore \( C_1 \) e dell'induttore \( L_1 \) che sono in parallelo.
Sia \( Z_2 \) l'impedenza del condensatore \( C_2 \) e dell'induttore \( L_2\) che sono in parallelo.
\( Z_1 \) e \( Z_2 \) sono in serie come mostrato di seguito quindi usando la regola delle impedenze in serie per calcolare \( Z_{AB} \) come segue
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


Usiamo ora la regola delle impedenze in parallelo per calcolare \( Z_1 \) e \( Z_2 \) come segue
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
riscriviamo quanto sopra come
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
scriviamo il lato destro con un denominatore comune
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
Risolviamo per \( Z_1 \)
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \) può essere calcolato in modo simile a \( Z_1 \) ed è dato da
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Sostituiamo ora \( Z_1 \) e \( Z_2 \) con la loro espressione in \( Z_{AB} \) per ottenere
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Fattorizziamo \( j \omega \) e riscriviamo \( Z_{AB} \) come
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
Sostituisci i valori numerici di \( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \) e \( \omega = 2 \pi f \) in \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
Nota che \( Z_{AB} \) è puramente immaginaria e quindi il modulo \( |Z_{AB}| \) e l'argomento \( \theta \) di \( Z_{AB} \) sono dati da
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
Forma esponenziale
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
Forma polare
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

Esempio 3
Trova l'impedenza equivalente tra i punti A e B nel circuito dato di seguito e scrivila in forme esponenziale e polari dati che
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) la frequenza del segnale \( f = 0.5 \; kHz \)

Soluzione all'Esempio 3
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) e \( Z_3 \) sono in parallelo e la loro impedenza equivalente \( Z_{2,3} \) usando la regola delle impedenze in parallelo è data da
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \) e \( Z_{2,3} \) sono in serie, quindi
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
Sostituisci
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
Sostituisci con i valori numerici di \( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) la frequenza del segnale \( f = 0.5 \; kHz \) per ottenere
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
Modulo di \( Z_{AB} \)
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
Argomento di \( Z_{AB} \)
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) o \( \theta = -17.07^{\circ} \)
Quindi in forma esponenziale
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
e in forma polare
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

Ulteriori Riferimenti e Link