Respuesta del Circuito Serie RLC a un Voltaje Escalonado

Tabla de Contenidos

Uso de transformadas de Laplace para estudiar la respuesta de un circuito RLC a un voltaje escalonado. Se desarrollan fórmulas para la corriente y todas las tensiones, y se presentan ejemplos numéricos junto con sus soluciones detalladas.
Se puede utilizar una calculadora en línea para la respuesta escalonada de un circuito serie RLC para verificar los cálculos realizados manualmente.

Fórmulas para la Corriente y las Tensiones en un Circuito Serie RLC en Respuesta a un Voltaje Escalonado

Problema
Encuentre las expresiones para la corriente \( i \) y las tensiones a través del capacitor \( C \), los inductores \( L \) y el resistor \( R \) como funciones del tiempo en el circuito a continuación, dado que la fuente de voltaje \( v_i = V_0 \; u(t) \), donde \( V_0 \) es una constante y \( u(t) \) es la función escalón unitaria. La corriente inicial en \( t = 0 \) es igual a cero.

Solución al Problema Anterior
Use la ley de voltajes de Kirchhoff para escribir
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
Use la ley de Ohm para escribir
\( v_R = R \; i \)
Relación entre voltaje y corriente de carga de un capacitor
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
Relación entre voltaje y corriente de carga de un inductor
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
Sustituya \( v_R \), \( v_L \) y \( v_C \) por sus expresiones en la ecuación (I)
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
Tome la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación anterior
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Use la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace y también el hecho de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescribir lo anterior como
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
Dado que \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) donde \( V_0 \) es una constante y \( u(t) \) es la función escalón unitaria, \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \)
Sea \( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \)
Use la propiedad de la derivada y la integral (ver fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace) para escribir
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) ya que la corriente inicial es igual a cero \( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
Después de la sustitución, nuestra ecuación se convierte en
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
NOTA que hemos transformado nuestra ecuación diferencial inicial del dominio \( t \) (tiempo) al dominio \( s \).
Multiplique todos los términos en la ecuación anterior por \( s \) y simplifique
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
Factorice \( I(s) \) y reescriba la ecuación anterior como
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
Resuelva lo anterior para \( I(s) \) y reescri ba como sigue
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
Complete el cuadrado en el denominador
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
Sea \( \alpha = \dfrac{R}{2L} \)
y reescriba la ecuación anterior como
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

Ahora consideramos 3 casos dependiendo del signo de la expresión \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Caso 1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : El circuito está subamortiguado

Permita que \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) y reescriba \( I(s) \) como
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
Use fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \), \( v_i (t) = V_0 \) y tenemos lo siguiente
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

Aplicaciones Numéricas - Ejemplo 1 - Circuito Subamortiguado
Permita que \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 10 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) y \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \)
Por lo tanto \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; el circuito está subamortiguado
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Simplifique
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Las tensiones se pueden calcular de la siguiente manera
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
Puede usar la calculadora para la respuesta escalonada de un circuito serie RLC para verificar todos los cálculos anteriores.

Caso 2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : El circuito está sobreamortiguado

Permita que \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) y reescriba \( I(s) \) como
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
Use fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) y tenemos lo siguiente
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

Caso 3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : El circuito está críticamente amortiguado

\( I(s) \) se simplifica a
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
Usa fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) y tenemos lo siguiente
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

Aplicaciones Numéricas - Ejemplo 3 - Circuito Críticamente Amortiguado
Supongamos \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 100 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) y \( C = 160 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
Por lo tanto, \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; el circuito está críticamente amortiguado
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
Puedes usar la calculadora para la respuesta paso de un circuito serie RLC para verificar todos los cálculos anteriores.

Más Referencias y Enlaces