Definición: Si \( f(t) \) es una función unilateral tal que \( f(t) = 0 \) para \( t \lt 0 \) entonces la transformada de Laplace \( F(s) \) se define como
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
donde \( s \) se permite ser un número complejo para el cual la integral impropia anterior converge.
Una definición más precisa de la función de Laplace para acomodar funciones como \( \delta(t) \) se da por
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
Cálculos de transformadas de Laplace con ejemplos y soluciones están incluidos.
Función | Transformada |
|---|---|
| \( f(t) \) | \( F(s) \) |
| \( u(t) \) | \( \dfrac{1}{s} \) |
| \( t^n \) | \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) |
| \( e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{s+a} \) |
| \( t^n e^{-at} \) | \( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) |
| \( \sin \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \sin \omega t \) | \( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \cos \omega t \) | \( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \cos \omega t \) | \( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \sinh \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \cosh \omega t \) | \( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \delta( t - \tau) \) | \( e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
| \( u( t - \tau) \) | \( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
Nota
1) \( \delta( t ) \) es la función delta de Dirac, también llamada función impulso en ingeniería.
2) \( u( t) \) es la función escalón de Heaviside.