Se presentan las funciones delta de Dirac \( \delta(t) \) y el escalón unitario de Heaviside \( u(t) \) junto con ejemplos y soluciones detalladas. Estas dos funciones se utilizan en la modelización matemática de diversos sistemas de ingeniería. Se incluyen algunos ejemplos en la modelización de las respuestas de circuitos eléctricos a voltajes de escalón unitario.
Función de Escalón Unitario de Heaviside \( u(t) \)
La función escalón de Heaviside, escrita como \( u(t) \) (también llamada función de Heaviside y escrita como \( H(t) \) ), se define de la siguiente manera:
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{para } t \lt 0 \\
1 & \text{para } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
Fig.1 - Gráfico de la Función Escalón Unitario
lo que lleva a:
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{para } t \lt t_0 \\
1, & \text{para } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
Uno de los usos principales de la función escalón es modelar un interruptor, por ejemplo. Supongamos que necesitamos aplicar un voltaje \( v(t) \) a un circuito en el tiempo \( t = t_0 \), el voltaje como función del tiempo puede representarse por \( v(t) u(t-t_0) \) de manera que
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{si } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{si } t \lt t_0 \end{cases}
\)
Un ejemplo, el gráfico de \( t^2 u(t-1) \) se muestra a continuación.
Fig.2 - Función Escalón Unitario Utilizado para Modelar un Interruptor
Las sumas y restas de funciones escalón unitario pueden usarse para modelar pulsos; se muestra un ejemplo a continuación.
Fig.3 - Función Escalón Unitario Utilizado para Modelar un Pulso
Función Delta de Dirac \( \delta(t) \)
La función delta de Dirac se define por la integral
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta (\tau - t_0) d\tau = u(t - t_0) \)
Aunque la función escalón unitario \( u(t - t_0) \) es discontinua en \( t = t_0 \), podemos definir la derivada de la función escalón mediante la función delta de Dirac de la siguiente manera
\( \dfrac{d u(t - t_0)}{dt} = \delta (t - t_0) \)
lo que puede tomar un valor "muy grande" en \( t = t_0 \) y por lo tanto, la función delta de Dirac también puede ser vista como
\( \delta(t - t_0) =
\begin{cases}
\infty & \text{para } t = t_0 \\
0 & \text{para } t \ne t_0 \\
\end{cases}
\)
La función delta de Dirac define la derivada en una discontinuidad finita; se muestra un ejemplo a continuación.
Fig.4 - Relación Gráfica Entre la Función Delta de Dirac y la Función Escalón Unitario
La función delta de Dirac tiene las siguientes propiedades:
\( \delta(t - t_0) \) es igual a cero en todas partes excepto en \( t = t_0 \) por lo tanto, las propiedades 1, 2 y 3.
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = f(t_0) \) si \( a \lt t_0 \lt b \) (o \( t_0 \) está dentro del intervalo de integración).
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = 0 \) si \( t_0 \gt b \) o \( t_0 \lt a \) (o \( t_0 \) está fuera del intervalo de integración).
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) aplicando la propiedad 1 anterior ya que \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) aplicando la propiedad 1 anterior ya que \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) aplicando la propiedad 1 anterior ya que \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) aplicando la propiedad 2 anterior ya que \( - 3 \lt 0 \) o \( -3 \) está fuera del intervalo de integración.
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) aplicando la propiedad 2 anterior ya que \( 0 \lt 0^+ \) o \( 0 \) está fuera del intervalo de integración.
Ejemplo 2
Evaluar las derivadas de:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
Solución al Ejemplo 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
Ejemplo 3
Usar la función escalón \( u(t) \) para escribir ecuaciones a los gráficos mostrados a continuación y sus derivadas.
a)
b)
c)
d)
Solución al Ejemplo 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)
