Se presentan ejemplos de cómo usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE).
Una de las principales ventajas de usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales es que convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica.
Los cálculos pesados que implican la descomposición en fracciones parciales se presentan en el apéndice al final de la página.
Ejemplo 1
Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
\[ - 2 y' + y = 0 \]
con las condiciones iniciales \( y(0) = 1 \) y \( y \) es una función del tiempo \( t \).
Solución al Ejemplo 1
Sea \( Y(s) \) la transformada de Laplace de \( y(t) \)
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial dada: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace para reescribir la ecuación como
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos la propiedad de derivada para reescribir el término \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \).
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
Expandimos lo anterior como
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
Sustituimos \( y(0) \) por su valor numérico dado
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
Resolvemos lo anterior para \( Y(s) \)
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
Ahora usamos la fórmula (3) en la tabla de fórmulas de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( Y(s) \) obtenida anteriormente como
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
Nota: Verificar solución
verifiquemos que la solución obtenida \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) satisface la ecuación diferencial dada
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
Simplificamos lo anterior
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; ecuación diferencial satisfecha.
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; valor inicial también satisfecho.
Ejemplo 2
Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
con las condiciones iniciales \( y(0) = 2 \) y \( y'(0) = - 1 \) y \( y \) es una función del tiempo \( t \).
Solución al Ejemplo 2
Sea \( Y(s) \) la transformada de Laplace de \( y(t) \)
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial dada
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace para reescribir la ecuación como
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos las propiedades de primera y segunda derivada para reescribir los términos \( \mathscr{L}\{ y"\} \) y \( \mathscr{L}\{ y'\} \) y simplificar el lado derecho.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
Sustituimos \( y(0) \) y \( y'(0) \) por sus valores numéricos y expandimos
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
Agrupamos términos similares y mantenemos los términos con \( Y(s) \) a la izquierda
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
Factorizamos \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
Resolvemos lo anterior para \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
Expandimos el lado derecho en fracciones parciales (ver detalles en Apéndice A al final de la página)
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
Ahora usamos la fórmula (3) en la tabla de fórmulas de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( Y(s) \), que es
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
Puedes verificar que la solución obtenida satisface la ecuación diferencial y los valores iniciales dados.
Ejemplo 3
Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
con las condiciones iniciales \( y(0) = -1 \) y \( y'(0) = 2 \) y \( y \) es una función del tiempo \( t \).
Solución al Ejemplo 3
Sea \( Y(s) \) la transformada de Laplace de \( y(t) \)
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial dada
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace para reescribir la ecuación como
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Usamos las propiedades de primera y segunda derivada para reescribir los términos \( \mathscr{L}\{ y"\} \) y \( \mathscr{L}\{ y'\} \) y simplificar el lado derecho.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
Sustituimos \( y(0) \) y \( y'(0) \) por sus valores numéricos y expandimos
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
Agrupamos términos similares y mantenemos los términos con \( Y(s) \) en el lado izquierdo de la ecuación
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
Factorizamos \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
Resolvemos lo anterior para \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
Factorizamos el denominador sobre los números complejos al resolver primero la ecuación
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
lo que da dos soluciones complejas
\( S_1 = -1 + j \) y \( s_2 = -1 - j \)
Factorizamos
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
Expandimos el lado derecho de lo anterior en fracciones parciales (ver Apéndice B al final de la página)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
con
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
y
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Usamos las fórmulas en la tabla de fórmulas para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \), que es
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
Escribimos \( A \) y \( B \) en forma exponencial
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
Sustituimos \( s_1 \), \( s_2 \), \( A \) y \( B \) por sus valores y reescribimos \( y(t) \) como
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
Factorizamos \( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \) y agrupamos exponentes
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
Usamos la fórmula de Euler ( \( e^jx = \cos x + j \sin x \) ) para simplificar los términos dentro de los corchetes
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
lo cual se simplifica a
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
Puedes verificar que la solución obtenida satisface la ecuación diferencial y los valores iniciales dados.
Ejemplo 4
Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
con las condiciones iniciales \( y(0) = 1 \) y \( y'(0) = -1 \).
Solución al Ejemplo 4
Sea \( Y(s) \) la transformada de Laplace de \( y(t) \)
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial dada
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
Usamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace para expandir el lado izquierdo y usamos la tabla para evaluar el lado derecho.
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Usamos las propiedades de primera y segunda derivada para reescribir los términos \( \mathscr{L}\{ y"\} \) y \( \mathscr{L}\{ y'\} \) y simplificar el lado derecho.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Sustituimos \( y(0) \) y \( y'(0) \) por sus valores numéricos y expandimos
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Agrupamos términos similares y mantenemos los términos con \( Y(s) \) en el lado izquierdo de la ecuación
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Factorizamos \( Y(s) \) del lado izquierdo
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Resolvemos lo anterior para \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
Factorizamos el término \( s^2 - s - 2 \) en el denominador
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
lo cual puede expandirse en fracciones parciales como (ver Apéndice C al final de la página para más detalles).
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
Usamos las fórmulas en la tabla de fórmulas de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace de \( Y(s) \) que es
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
Descomposición en fracciones parciales del ejemplo 2
Factorizamos el denominador
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
Expandimos en fracciones parciales
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
Multiplicamos todos los términos anteriores por \( (s-3)(s+1) \) y simplificamos
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
Establecemos \( s = 3 \) en la ecuación (1)
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
Simplificamos y resolvemos para \( B \)
\( B = 1/4 \)
Establecemos \( s = - 1 \) en la ecuación (1)
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
Simplificamos y resolvemos para \( A \)
\( A = \dfrac{7}{4} \)
Descomposición en fracciones parciales del ejemplo 3
Descomposición en fracciones parciales de \( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
Multiplicamos todos los términos anteriores por \( (s - s_1)(s - s_2) \) y simplificamos
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
Evaluamos lo anterior en \(s=s_1 \)
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
Simplificamos
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
Resolvemos para \( A \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
Evaluamos ambos lados de la ecuación (1) en \( S = s_2 \) y encontramos \( B \) de manera similar a como encontramos \( A \) arriba
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Expandir en fracciones parciales desde el ejemplo 4
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
Factorizamos los denominadores
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
Simplificar el término de la derecha
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
Expresar en fracciones parciales
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
Multiplicar todos los términos anteriores por el denominador \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) y simplificar
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
Seleccionar valores de \( s \) que simplifiquen los cálculos para los coeficientes \( A, B, C \) y \( D \)
Establecer \( s = 2 \) en ambos lados de la ecuación (1)
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
Simplificar
\( 3 = 39 D \)
Resolver para \( D \)
\( D = \dfrac{1}{13} \)
Establecer \( s = -1 \) en ambos lados de la ecuación (1)
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
Simplificar
\( 3 - 30 = - 30 C \)
Resolver para \( C \)
\( C = \dfrac{9}{10} \)
Establecer \( s = 0 \) en ambos lados de la ecuación (1)
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
Simplificar
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
Sustituir \( C \) y \( D \) por sus valores numéricos obtenidos anteriormente y resolver para B para obtener
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
Establecer \( s = 1 \) en ambos lados de la ecuación (1)
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
Sustituir \( B, C \) y \( D \) por sus valores numéricos obtenidos anteriormente y resolver para A para obtener
\( A = \dfrac{3}{130} \)
Por lo tanto
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)