다음과 같이 주어진 고주파 \( RC \) 회로에서 시간의 함수로 캐패시터 \( R \)의 전압을 찾고 그래프를 그려라.
Fig.1 - High Pass RC 회로
입력 전압이 \( v_i(t) \) 이하로 정의된 정사각파 그래프가 아래에 나타납니다.
Fig.2 - 하이패스 RC 회로에 대한 입력으로 정사각파문제의 해결책 저패스 RC 회로의 스퀘어 웨이브에 대한 응답 연구에서 캐패시터 전압은 다음과 같이 주어진다.
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
입력 \( v_i(t) \) 전압이 다음과 같은 형태의 양과 음의 스텝 단위 함수의 합계로 모델링 될 때
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
이 연구에서 우리는 다음과 같이 주어진 저항기 \( v_R(t) \)의 전압을 찾아야 한다.
\( v_R(t) = v_i(t) - v_C(t)\)
\( v_i(t) \)와 \( v_C(t) \)가 위의 식으로 대입되면 \( v_R(t) \)를 다음과 같이 간소화할 수 있다.
\( \displaystyle v_R(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\ \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
수치적인 응용
\( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \), \( C = 5 \) mF 로 놓자.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (초)
아래에는 입력 \(v_i(t) \)의 그래프 및 위에서 주어진 저항기 전압 \( v_R
(t) \)의 그래프가 나타납니다. 입력 정사각파의 주기 \( T \)에 따라 네 가지 그래프가 표시됩니다.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - 입력 \( v_i(t) \) 정사각파 및 저항기 전압 \( v_R(t) \)의 그래프 (주기 T = 15 RC)
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - 입력 \( v_i(t) \) 정사각파 및 저항기 전압 \( v_R(t) \)의 그래프 (주기 T = 10 RC)
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - 입력 \( v_i(t) \) 정사각파 및 저항기 전압 \( v_R(t) \)의 그래프 (주기 T = 5 RC)
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - 입력 \( v_i(t) \) 정사각파 및 저항기 전압 \( v_R(t) \)의 그래프 (주기 T = 2 RC)
