스텝 전압에 대한 RC 회로 응답

목차

라플라스 변환의 사용을 통해 RC 회로의 응답을 연구하는 방법을 예시와 상세한 해결책과 함께 제시합니다. 우리는 또한 캐패시터의 충전 및 방전 과정을 수학적으로 모델링하는 방법도 보여줍니다. 전압과 전류의 표현식을 계산하기 위한 온라인 계산기도 포함되어 있습니다.

문제와 해결책

문제 1 캐패시터 충전
입력 전압이 \( v_i = V_0 \; u(t) \)인 경우 \( V_0 = 10 \) V는 상수이고 \( u(t) \)는 단위 계단 함수이며 저항은 \( R = 200 \; \Omega \)이고 캐패시터는 \( C = 5 \) mF로 주어진 회로에서 시간의 함수로 캐패시터 \( C \) 및 저항 \( R \) 및 전류 \( i \)의 전압을 찾고 그래프를 그려보세요. \( t \)입니다. \( t = 0 \)에서 캐패시터 전압은 0입니다.

문제 1의 해결책
키르히호프의 전압 법칙을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \)       (I)
오움의 법칙을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
캐패시터의 전압과 충전 전류의 관계는 다음과 같습니다.
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
위의 양쪽을 미분하고 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
\( i (t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
따라서 방정식 (I)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
위의 방정식의 양쪽에 라플라스 변환을 취하면 다음과 같습니다.
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
라플라스 변환의 선형성 및 \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) 이라는 사실을 사용하여 위를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L} \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \)       (II)
\( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) 및 \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \) 를 사용하십시오.
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
\( t = 0 \)에서 캐패시터 전압이 0이라는 사실을 고려하면 \( v_C(0) = 0 \)이므로 방정식 (II)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
주의 : 초기 미분 방정식을 시간 \( t \) 영역에서 \( s \) 영역으로 변환했습니다.
입력의 라플라스 변환 \( V_i(s) \)은 다음과 같습니다(참조 : 라플라스 변환의 공식 및 특성).
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
\( s \) 영역의 방정식은 다음과 같습니다.
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
좌변에서 \( V_C(s) \)를 분해하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
\( V_C(s)\)를 구하기 위해 위를 풀어서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
위의 식을 부분 분수로 분해하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다 ( 참조 : 페이지 맨 아래의 부록 A 에서 자세한 계산).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
위 식의 우변의 두 번째 항의 분자와 분모를 \( R\;C \)로 나누고 \( V_0 \)을 분리하여 \( V_C(s) \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
이제 라플라스 변환의 공식 및 특성을 사용하여 \( V_C(s) \)의 역 라플라스 변환 \( v_C(t) \) (시간 영역)을 찾습니다.
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
그리고
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
따라서
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) u(t) \)
저항에 걸린 전압 \( v_R(t) \)은 다음과 같습니다.
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
전류 \( i(t) \)는 다음과 같습니다.
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
참고 : 캐패시터에 걸린 전압 \( v_C(t) \)는 시간에 따라 지수 함수 \( e^{-\frac{t}{R\;C}} \)에 따라 상승하며 따라서 매개 변수 \( R\;C \)를 시간 상수라고 합니다.

수치 응용
\( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \), \( C = 5 \) mF로 가정합니다.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (초)
아래는 입력 \(v_i(t) \) 및 위에서 주어진 캐패시터 전압 \( v_C(t) \)에 대한 그래프입니다. 입력 정사각파의 주기 \( T \)에 대한 각 수학적 관계를 나타내기 위해 그래프를 시간 \( t \)의 함수로 그릴 수 있습니다.
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
전압 및 전류의 그래프는 아래에 표시됩니다.
\( t = 0 \)에서 다음을 유의하세요:
1) \( t = 0 \) 이전에 캐패시터가 충전되지 않았으므로 캐패시터에 걸린 전압 \( v_C(0) \)은 0이며 \( t = 0 \)에서 캐패시터는 단락 처럼 작동합니다. \( t \)가 증가함에 따라 \( v_C(t) \)도 증가하고 이것이 캐패시터의 충전 과정 을 설명합니다.
2) 저항에 걸린 전압 \( v_R (0) \)은 원전압 \( 10 \) V와 같으며 \( t \)가 증가함에 따라 감소합니다.
3) 전류 \( i(0) \)는 최대값인 \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A이고 \( t \)가 증가함에 따라 감소합니다.
\( t \)가 큰 경우 다음 사항을 유의하십시오:
\( v_C(t) \)가 거의 \( v_i(t) \)와 같으므로 캐패시터가 완전히 충전되었습니다. 전류 \( i(t) \)는 캐패시터가 개회로 처럼 작동하므로 거의 0입니다.

문제 2 캐패시터 방전
아래 회로의 캐패시터 \( C \)는 처음에 \( V_0 = 10 \) 볼트로 충전되어 있습니다. \( t = 0 \)에서 회로의 스위치 S가 닫힙니다. 시간 \( t \)의 함수로 캐패시터 \( C \)와 저항 \( R \) 사이의 전압 및 전류 \( i \)를 찾고 그래프를 그려보세요.

문제 2에 대한 해법
키르히호프의 전압 법칙을 사용하여 다음을 쓰세요.
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \)       (I)
오옴의 법칙을 사용하여 다음을 쓰세요.
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
캐패시터 전압과 전류 사이의 관계는 다음과 같습니다.
캐패시터 전압과 전류 사이의 관계는 다음과 같습니다.
\( Q_0 \)를 \(t=0\)에서의 캐패시터의 초기 전하라고 합시다. 캐패시터가 방전되기 때문에 총 전하가 감소하고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
캐패시터 전압 \( v_C(t) \)는 다음과 같습니다.
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
왼쪽과 오른쪽의 미분을 취하세요.
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
도함수의 선형성을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{d t } \)
\( Q_0 \)는 상수이며 그 도함수는 0과 같으므로 위의 식은 간단해집니다
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \)     참고 캐패시터가 방전되기 때문에 음수 부호가 있습니다.
위의 \( i(t) \)를 \( v_R (t) \)에 대입하여 다음을 얻을 수 있습니다.
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
따라서 방정식 (I)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
위의 방정식 양변에 라플라스 변환을 취하세요
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
라플라스 변환의 선형성과 \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \)이라는 성질을 사용하여 위를 다음과 같이 쓸 수 있습니다
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \)       (II)
\( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \) 라고 합시다
시간 \( t \)에 대한 미분의 성질을 사용하여 다음을 쓸 수 있습니다 (참조 : 라플라스 변환의 공식 및 특성)
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
\( t = 0 \)에서 캐패시터가 충전되었고 그 전압이 \( V_0 \)이므로 \( v_C(0) = V_0 \) 이라는 것을 고려하면 방정식 (II)를 다음과 같이 얻을 수 있습니다.
\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
위의 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
\( V_C(s)\)를 푸세요
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
분자와 분모를 \( R \; C \)로 나누세요
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \)는 역 라플라스 변환에 의해 주어집니다; 따라서
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
이제 라플라스 변환의 공식 및 특성을 사용하여 \( V_C(s) \)의 역 라플라스 변환 \( v_C(t) \) (시간 영역)을 찾습니다.
따라서
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
저항에 걸린 전압 \( v_R(t) \)은 다음과 같습니다
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
전류 \( i(t) \)는 다음과 같습니다
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
수치적 응용: \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) 그리고 \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) 초
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( i(t) = 0.05 \; e^{-t} \) A
전류 및 전압의 그래프는 아래에 표시됩니다.
\( t = 0 \)에서 다음을 유의하세요:
1) 캐패시터가 \( t = 0 \) 이전에 충전되었으므로 전압 \( v_C(0) = 10 \) 볼트에서 시작하여 \( t \)가 증가함에 따라 감소하고 이것이 캐패시터의 방전 과정 을 설명합니다.
2) \( t = 0 \) 에서 \( v_R (0) = v_C(0) = 10\)입니다.
3) \( t = 0\)에서 전류 \( i(0) \)는 최대값으로, \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A이며, \( t \)가 증가함에 따라 감소합니다.
\( t \)가 큰 경우 다음을 유의하세요:
\( t \)의 큰 값에서 모든 전압 및 전류는 거의 0입니다. 왜냐하면 캐패시터가 완전히 방전되었고 캐패시터에 저장되었던 에너지가 저항 \( R \)에 의해 열로 방출되었기 때문입니다.

부록

부록 A

부분 분수로 전개; \( A \)와 \( B \)를 찾으세요
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
위의 모든 항에 \( s(R\;C s + 1) \)를 곱하고 단순화하세요
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \)      (1)
식 (1)에서 \( s = 0 \)으로 설정하여 얻으세요
\( A = V_0 \)
식 (1)에서 \( A = V_0 \) 그리고 \( s = 1 \)로 설정하세요
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
단순화하고 \( B \)를 풀어서 얻으세요
\( B = - R\;C V_0 \)
따라서 부분 분수로 분해됩니다
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)

추가 참고 자료 및 링크