보통의 미분 방정식 (ODE)을 해결하기 위해 Laplace 변환을 사용하는 예제를 제시합니다.
Laplace 변환을 사용하여 미분 방정식을 해결하는 주요 장점 중 하나는 Laplace 변환이 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환한다는 것입니다.
분수의 부분 합 을 풀어서 진행되는 번거로운 계산은 페이지 하단의 부록에서 제시됩니다.
예제 1
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 해결하십시오.
\[ - 2 y' + y = 0 \]
초기 조건이 \( y(0) = 1 \)이고 \( y \)는 시간 \( t \)의 함수입니다.
예제1의 해결
\( Y(s) \)를 \( y(t) \)의 라플라스 변환으로 놓습니다.
주어진 미분 방정식의 양쪽을 라플라스 변환하십시오: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
라플라스 변환의 선형성 속성을 사용하여 방정식을 다시 쓰십시오.
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
도함수 속성을 사용하여 항을 다시 쓰고 우변을 단순화하십시오.
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
위를 전개하면
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
\( y(0) \)를 주어진 수치 값으로 대체하십시오.
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
위를 \( Y(s) \)에 대해 해결하십시오.
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
이제 위에서 얻은 \( Y(s) \)의 역 라플라스 변환을 구하기 위해 라플라스 변환 공식 표의 공식 (3)을 사용하여 다음과 같이 쓰십시오.
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
참고: 해의 확인
해 \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) 가 주어진 미분 방정식을 만족하고 초기값도 만족하는지 확인하십시오.
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
위를 단순화하십시오.
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; 미분 방정식 만족.
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; 초기값도 만족.
예제 2
라플라스 변환을 사용하여 미분 방정식을 해결하십시오
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
초기 조건이 \( y(0) = 2 \)이고 \( y'(0) = - 1 \)이고 \( y \)는 시간 \( t \)의 함수입니다.
예제
2의 해결
\( Y(s) \)를 \( y(t) \)의 라플라스 변환으로 놓습니다.
주어진 미분 방정식의 양쪽을 라플라스 변환하십시오
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
라플라스 변환의 선형성 속성을 사용하여 방정식을 다시 쓰십시오.
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
첫 번째 및 두 번째 도함수 속성을 사용하여 항을 다시 쓰고 우측을 단순화하십시오.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
\( y(0) \)와 \( y'(0) \)를 해당하는 숫자 값으로 대체하고 전개하십시오.
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
유사한 항을 그룹화하고 좌측의 \( Y(s) \) 항을 유지하십시오.
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
\( Y(s) \)를 인수분해하십시오.
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
위를 \( Y(s) \)에 대해 해결하십시오.
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
우변을 페이지 하단의 부록 A에서 설명된 부분 분수로 전개하십시오.
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
이제 라플라스 변환의 공식 표에서 공식 (3)을 사용하여 위에서 얻은 \( Y(s) \)의 역 라플라스 변환을 찾으십시오.
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
얻은 해가 미분 방정식과 주어진 초기값을 만족하는지 확인할 수 있습니다.
예제 3
라플라스 변환을 사용하여 다음 미분 방정식을 해결하십시오.
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
초기 조건이 \( y(0) = -1 \)이고 \( y'(0) = 2 \)이며 \( y \)는 시간 \( t \)의 함수입니다.
예제 3의 해결
\( Y(s) \)를 \( y(t) \)의 라플라스 변환으로 놓습니다.
주어진 미분 방정식의 양쪽을 라플라스 변환하십시오
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
라플라스 변환의 선형성 속성을 사용하여 방정식을 다시 쓰십시오.
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
첫 번째 및 두 번째 도함수 속성을 사용하여 항을 다시 쓰고 우변을 단순화하십시오.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
\( y(0) \)와 \( y'(0) \)를 해당하는 수치 값으로 대체하고 전개하십시오.
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
유사한 항을 그룹화하고 좌측의 \( Y(s) \) 항을 유지하십시오.
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
\( Y(s) \)를 인수분해하십시오.
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
위를 \( Y(s) \)에 대해 해결하십시오.
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
분모를 복소수로 인수분해하여 먼저 방정식을 풀어보세요.
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
이 방정식은 두 개의 복소해를 주어집니다.
\( S_1 = -1 + j \) 및 \( s_2 = -1 - j \)
분해합니다
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
위의 항을 분수로 확장하십시오 (자세한 내용은 페이지 하단의 부록 B를 참조하십시오).
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
여기서
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
그리고
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
라플라스 변환의 공식 표에서 \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)의 역 라플라스 변환을 찾으십시오
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
지수 형태로 \( A \) 및 \( B \)를 작성하십시오
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
\( s_1 \), \( s_2 \), \( A \) 및 \( B \)를 해당하는 값으로 대체하
고 \( y(t) \)를 다시 작성합니다
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \)를 분리하고 지수를 그룹화합니다
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
오일러 공식 ( \( e^jx = \cos x + j \sin x \) )을 사용하여 괄호 안의 항을 단순화하십시오
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
다음과 같이 단순화됩니다
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
얻은 해가 미분 방정식과 주어진 초기값을 만족하는지 확인할 수 있습니다.
예제 4
라플라스 변환을 사용하여 다음 미분 방정식을 해결하십시오.
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
초기 조건이 \( y(0) = 1 \)이고 \( y'(0) = -1 \)입니다.
예제 4의 해결
\( Y(s) \)를 \( y(t) \)의 라플라스 변환으로 놓습니다.
주어진 미분 방정식의 양쪽을 라플라스 변환하십시오
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
라플라스 변환의 선형성 속성을 사용하여 좌측을 확장하고 우측을 평가하십시오.
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
첫 번째 및 두 번째 도함수 속성을 사용하여 항을 다시 쓰고 우변을 단순화하십시오.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
\( y(0) \)와 \( y'(0) \)를 해당하는 수치 값으로 대체하고 전개하십시오.
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
유사한 항을 그룹화하고 좌측의 \( Y(s) \) 항을 유지하십시오.
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
좌측에서 \( Y(s) \)를 인수분해하십시오
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
위를 \( Y(s) \)에 대해 해결하십시오.
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
분모를 \( s^2 - s - 2 \)로 인수분해하십시오
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
분수를 부분 분수로 확장하면 다음과 같습니다 (자세한 내용은 페이지 하단의 부록 C를 참조하십시오).
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
이제 라플라스 변환의 공식 표에서 \( Y(s) \)의 역 라플라스 변환을 찾으십시오
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
예제 2의 부분 분수 분해
분모 인수 분해
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
부분 분수로 확장
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
위의 모든 항을 \( (s-3)(s+1) \)로 곱하고 단순화
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
방정식 (1)에서 \( s = 3 \)을 설정하십시오.
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
단순화하고 \( B \)를 구하십시오
\( B = 1/4 \)
방정식 (1)에서 \( s = - 1 \)을 설정하십시오.
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
단순화하고 \( A \)를 구하십시오
\( A = \dfrac{7}{4} \)
예제 3의 부분 분수 분해
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)의 부분 분수 분해
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
위의 모든 항을 \( (s - s_1)(s - s_2) \)로 곱하고 단순화
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
\( s = s_1 \)에서 위의 값을 계산하십시오.
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
단순화
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
\( A \)를 해결하십시오.
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
방정식 (1)의 양쪽을 \( S = s_2 \)로 평가하고 \( A \)를 찾는 방법과 비슷하게 \( B \)를 찾으십시오
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
예제 4의 부분 분수 확장
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
분모 인수 분해
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
우측 항을 단순화하십시오
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
부분 분수로 표현하십시오
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
위의 모든 항을 분모 \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \)으로 곱하고 단순화하십시오
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
\( s \)의 값 중에서 \( A, B, C \) 및 \( D \)의 계산을 단순화하는 값을 선택하십시오
방정식 (1)의 양쪽을 \( s = 2 \)로 설정하십시오
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
단순화
\( 3 = 39 D \)
\( D \)를 해결하십시오
\( D = \dfrac{1}{13} \)
방정식 (1)의 양쪽을 \( s = -1 \)로 설정하십시오
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
단순화
\( 3 - 30 = - 30 C \)
\( C \)를 해결하십시오
\( C = \dfrac{9}{10} \)
방정식 (1)의 양쪽을 \( s = 0 \)으로 설정하십시오
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
단순화
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
위에서 얻은 \( C \) 및 \( D \)의 숫자 값을 대체하고 \( B \)를 구하십시오
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
방정식 (1)의 양쪽을 \( s = 1 \)로 설정하십시오
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
위에서 얻은 \( B, C \) 및 \( D \)의 숫자 값을 대체하고 \( A \)를 구하십시오
\( A = \dfrac{3}{130} \)
따라서
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)