다음 회로에서 시간의 함수로 캐패시터 \( C \) 및 저항 \( R \) 및 전류 \( i \) 의 전압을 찾고 그래프를 그려라.
Fig.1 - 저패스 RC 회로
입력 전압이 \( v_i(t) \) 정사각파로 주어진 경우 그래프는 아래와 같습니다.
Fig.2 - RC 회로에 대한 입력으로 정사각파문제의 해결책
이미 RC 회로에서 캐패시터 전압 \( V_C(s) \)과 입력 전압 \( V_i(s) \) 간의 관계에 대한 방정식, \( s \) 도메인에서이 결정되었습니다.
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
이제 우리는 정사각파 \( v_i(t) \)의 라플라스 변환 \( V_i(s) \)을 결정해야 합니다.
먼저 정사각파를 다음과 같이 이동 단위 계단 함수의 합으로 표현합니다.
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
위의 양변의 라플라스 변환을 취하고 라플라스 변환의 선형성 특성을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
이동된 단위 계단 함수 \( u(t - \alpha) \)의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
위를 사용하여 \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
위의 표현식 (i)의 \( V_C(s) \)로 \( V_i(s) \)를 대체하고 \(
V_C(s) \)의 모든 항을 오른쪽으로 옮겨서 \( V_C(s) \)를 해결합니다.
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
\( V_C(s) \)를 해결합니다.
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
유리식 \( \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \)을 부분 분수 ( 참조 부록 - A )로 분해하고 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
오른쪽 항의 분자와 분모를 \( R\;C \)로 나누고 \( V_0 \)을 인수분해하여 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
위의 표현식 (II)에 위를 대입하여 \( V_C(s) \)를 다음과 같이 작성합니다.
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
위는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이제 우리는 라플라스 변환의 공식 및 특성을 사용하여 \( V_C(s) \)의 역 라플라스 변환 \( v_C(t) \) (시간 영역)을 찾아야 합니다.
\( v_C(t) \)를 \( V_C(s) \)에서 역 라플라스 변환을 적용하여 찾아야 합니다.
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
중괄호 내의 두 주요 항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
라플라스 변환의 공식의 속성 2는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) , 여기서 \( f(t) \)는 \( F(s) \)의 역 라플라스 변환입니다.
이제 모든 위를 사용하여 \( v_C(t) \)를 다음과 같이 작성합니다.
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \;
C} } \right) \right\} \)
수치 응용
\( V_0 = 10 \) V, \( R = 200 \; \Omega \), \( C = 5 \) mF로 가정합니다.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (초)
아래는 입력 \(v_i(t) \) 및 위에서 주어진 캐패시터 전압 \( v_C(t) \)에 대한 그래프입니다. 입력 정사각파의 주기 \( T \)에 대한 네 가지 그래프가 표시됩니다.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - 주기 T = 15 RC에 대한 입력 정사각파 및 전압 v_C(t) 그래프
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - 주기 T = 10 RC에 대한 입력 정사각파 및 전압 v_C(t) 그래프
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - 주기 T = 5 RC에 대한 입력 정사각파 및 전압 v_C(t) 그래프
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - 주기 T = 2 RC에 대한 입력 정사각파 및 전압 v_C(t) 그래프
