1차 및 2차 수동 로우 패스 필터의 상세한 수학적 분석이 제공됩니다.
1차 및 2차 로우 패스 필터를 조사하는 데 필요한 수학적 작업은 매우 까다롭습니다. 하지만
로우 패스 필터 전달 함수 그래핑 계산기를 포함하여 더 많은 연습을 할 수 있습니다.
\( \) \( \) \( \)\( \)
수동 소자의 임피던스
저항 \( R \)의 임피던스 \( Z_R \)는 다음과 같이 주어집니다.
\( \quad Z_R = R \)
콘덴서 \( C \)의 임피던스 \( Z_C \)와 인덕터 \( L \)의 임피던스 \( Z_L \)는 각각 복소수 형식으로 다음과 같이 주어집니다:
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
여기서 \( s = j \; \omega \) 입니다.
1차 로우 패스 필터의 전달 함수
다음 회로를 고려해 보겠습니다. 입력 신호 \( v_{in} \)의 주파수 \( f \)가 감소하면 각주파수 \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \)가 감소하고, 콘덴서의 임피던스 \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{s \; C} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} \)가 증가하여 \( R \)에 걸리는 전압이 0에 가까워지고 출력 전압 \( v_{out} \)는 \( v_{in} \)에 가까운 값을 갖습니다.
주파수가 증가하면 콘덴서의 임피던스가 0으로 감소하여 출력 전압 \( v_{out} \)가 0에 가까워집니다. 따라서 그림 1의 RC 회로는 낮은 주파수만 출력으로 통과시키며, 이를 로우 패스 필터라고 합니다.
그림 1 - RC 로우 패스 필터
전달 함수 \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)를 정의해 봅시다.
그림 1의 회로는 전압 분배기이며, 복소수 형식의 임피던스를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
참고 필터의 차수는 전달 함수에서 \( s \)의 최대 차수로 정의됩니다. 위 (I)에서 \( s \)의 최대 차수는 1이므로 필터는 1차 필터입니다.
\( H(\omega) \)는 두 함수의 몫으로 이루어진 복소수 함수입니다.
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
복소수에 따르면 크기는 다음과 같이 주어집니다:
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
그리고 아규먼트(AC 회로에서 위상)는 다음과 같이 주어집니다:
참고 아규먼트(복소수)와 위상(AC 회로)은 동일한 양입니다.
위의 (II)에서 전달 함수 \( H(\omega) \)의 크기 \( |H(\omega)| \)와 위상 \( \Phi(\omega) \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
1차 로우 패스 필터의 \( - 3 \) dB 컷오프 주파수
컷오프 각주파수 \( \omega_c \)는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
위에서 구한 \( |H(\omega_c)| \)의 표현을 대입하여 방정식을 얻습니다.
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
위의 방정식의 양 변을 제곱하고 다음과 같이 다시 작성합니다.
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
해를 구하여 다음과 같은 솔루션을 얻습니다:
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
1차 로우 패스 필터의 예
\( R_1 = 100 \; \Omega \) 및 \( C_1 = 1 \; \mu F \)라고 합시다.
\( R_1 \)과 \( C_1 \)의 값을 대입하여 다음과 같이 구합니다:
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
참고 필터가 허용하는 주파수에서 진폭 \( |H(\omega)| \)의 평탄함을 더 잘 나타내기 위해, 반로그 그래프에서 단위가 \( dB \)로 표현된
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \]를 그래프로 나타냅니다.
컷오프 주파수 \( \omega = \omega_c \)에서
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
그리고
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
참고 \( \omega_c \)는 \( - 3 \text{ dB} \) 컷오프 주파수라고 불립니다.
큰 \( \omega \) 값에 대한 그래프의 기울기
큰 \( \omega \) 값에 대해, \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) 항이 \( 1 \)보다 훨씬 크기 때문에 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있습니다.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
\( \omega = \omega_1 \)일 때, \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\( \omega = 10 \; \omega_1 \)일 때, \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
인자 \( 10 \)은 10배를 의미하며, 따라서 그래프의 기울기를 \( -20 \; \text{dB} \) per decade라고 합니다.
아래 그래프에서 점 \( A \)와 \( B \)는 위의 결과를 보여줍니다. 점 \( A \)는 주파수 \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \)에서, 점 \( B \)는 주파수 \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1 \)에서 위치합니다. \( A \)에서 \( B \)로 이동할 때 진폭은 \( 20 \; \text{dB} \)만큼 감소합니다.
참고 이 동작은 컷오프 주파수 이상의 큰 \( \omega \) 값에서 발생합니다.
아래는 \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \)와 위상 \( \Phi(\omega) \)의 그래프가 나와 있습니다.
그림 2 - 1차 RC 로우 패스 필터의 전달 함수
위상 \( \Phi \)는 \( \omega = \omega_c \)에서 \( -45^{\circ} \)입니다.
그림 3 - 1차 RC 로우 패스 필터의 위상
2차 로우 패스 필터의 전달 함수
이제 두 개의 직렬 로우 패스 필터의 전달 함수를 분석합니다.
일반적으로, 아래에 표시된
직렬 회로의 전달 함수 \( H(s) \) 는
그림 4 - 두 개의 직렬 회로
다음과 같이 주어집니다.
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
이제 위의 공식 (I)을 사용하여, 아래에 표시된 것처럼 두 개의 직렬 로우 패스 필터로 이루어진 2차 로우 패스 필터의 전달 함수를 찾습니다.
그림 5 - 2차 RC 로우 패스 필터
\( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \), \( Z_3 = R_3 \), \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \)를 대입하여 위의 공식 (I)을 다음과 같이 얻습니다.
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
참고 \( s \)의 최대 차수가 \( 2 \)이므로 필터는 2차 필터입니다.
\( s = j \; \omega \) 및 \( s^2 = - \omega^2 \)를 위의 \( H(s) \)에 대입하여
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
다음과 같이 설정합니다:
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
그리고
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
\( H(\omega) \)를 다음과 같이 다시 작성합니다:
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
전달 함수 \( H(\omega) \)의 크기와 위상은 다음과 같이 주어집니다:
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
2차 로우 패스 필터의 \( - 3 \text{ dB} \) 컷오프 주파수
컷오프 각주파수 \( \omega_c \)는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
위에서 구한 \( |H(\omega_c)| \)의 표현을 대입하여 방정식을 얻습니다:
\( \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \)
양 변을 제곱하고 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다:
\( A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \)
위의 방정식은 \( \omega_c^2 \)에 대한 이차 방정식의 형태를 가지며 이 문제에 유효한 해는 다음과 같이 주어집니다:
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
위의 솔루션을 다음과 같이 다시 작성합니다:
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
이를 다시 작성하면
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
\( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \)라고 두면 \( B^2 = 4 \; A \; r^2 \) 및 \( B^4 = 16 \; A^2 \; r^4 \)을 얻습니다.
먼저 \( | H(\omega) | \)의 분모에서 식을 확장합니다.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
큰 \( \omega \) 값에 대해 \( A^2 \omega^4 \) 항이 분모의 다른 모든 항보다 훨씬 크기 때문에 다음과 같은 근사식을 사용할 수 있습니다.
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
\( \omega = \omega_1 \)일 때, \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
\( \omega = 10 \omega_1 \)일 때, \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
인자 \( 10 \)은 10배를 의미하며, 따라서 그래프의 기울기를 \( -40 \; \text{dB} \) per decade라고 합니다.
아래는 \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \)와 위상 \( \Phi(\omega) \)의 그래프가 나와 있습니다.
점 \( A \)와 \( B \)는 위의 결과를 보여줍니다. 점 \( A \)는 주파수 \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \)에서, 점 \( B \)는 주파수 \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\)에서 위치합니다. \( A \)에서 \( B \)로 이동할 때 진폭은 \( 40 \; \text{dB} \)만큼 감소합니다.
그림 2 - 2차 RC 로우 패스 필터의 전달 함수 그림 3 - 2차 RC 로우 패스 필터의 위상
