두 연속된 회로의 전이 함수 공식이 제시되고 다양한 회로에 대한 응용이 예와 해설과 함께 설명됩니다.
문제와 그 해결책도 포함되어 있습니다. 문제 와 그 해결책 도 포함되어 있습니다.
A - 두 연속된 회로의 전이 함수 공식
아래에 표시된 두 연속된 회로를 고려하여 전이 함수 \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)를 네 가지 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 및 \( Z_4 \)를 사용하여 찾습니다.
일반 두 연속된 회로
우리는 상단 노드의 키르흐호프 전류 및 전압 및 오른쪽에서 닫힌 루프의 오옴의 법칙을 사용하여 방정식을 작성합니다.
\( \qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) 상단 노드의 키르흐호프 전류 법칙
\( \qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)\) 왼쪽에 닫힌 루프에서의 키르흐호프 전압 법칙
\( \qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)\) 오른쪽에 닫힌 루프에서의 키르흐호프 전압 법칙
\( \qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)\) \( R_2 \)에 걸린 전압의 오옴의 법칙
방정식 (II) 및 (IV)를 사용하여 다음과 같이 전이 함수 \( H( s ) \)를 작성합니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
위의 \( H(s)\)에 \( I \)를 \( I_1 + I_2 \)로 대체하기 위해 방정식 (I)을 사용합니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
위의 분자 및 분모를 \( I_1\)로 나누고 단순화하여 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V) \)
방정식 (III)을 사용하여 다음을 얻습니다.
\( \qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
위의 \( (IV) \)에 위의 값을 대입하고 \( H(s) \)를 얻기 위해 재정렬합니다.
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I) \]
B - 두 연속된 회로의 전이 함수 공식의 적용
위의 공식이 두 개의 연속된 회로로 식별될 수있는 모든 회로에서 어떻게 사용될 수 있는지 설명됩니다.
예제 1
아래 회로의 주파수 영역에서의 전이 함수를 찾습니다.
예제 1의 솔루션
주어진 회로를 위의 일반 회로와 비교하여 다음을 쓸 수 있습니다.
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = 0 \) 및 \( Z_4 = L s \)
여기서 \( s = j \omega \)이고 \( \omega \)는 각주파수입니다.
일반 공식에 얻은 임피던스 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 및 \( Z_4 \)를 대입하여 다음을 쓸 수 있습니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
\( s = j \omega \)를 대입하고 다음과 같이 씁니다.
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
예제 2
아래 회로의 주파수 영역에서의 전이 함수를 찾습니다.
예제 2의 솔루션
주어진 회로를 위의 일반 회로와 비교하여 다음을 쓸 수 있습니다.
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) 및 \( Z_4 = L s \)
여기서 \( s = j \omega \)이고 \( \omega \)는 각주파수입니다.
일반 공식에 얻은 임피던스 \( Z_1, Z_2, Z_3 \) 및 \( Z_4 \)를 대입하여 다음을 쓸 수 있습니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
분자 및 분모를 \( C s \)로 곱하고 단순화합니다.
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
\( s = j \omega \)를 대입하고 다음과 같이 씁니다.
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
예제 3
아래 회로의 주파수 영역에서의 전이 함수를 찾고, 그 크기와 아규먼트(또는 위상)를 그래프로 나타내세요.
