方形波に対するローパスRC回路の応答
目次
ラプラス変換を使用して、方形波入力に対するRC回路の応答を調べます。電圧のグラフと数値例が示されています。
ローパスRC回路の方形波に対する応答に関するオンライン計算機とグラフ作成ツールも含まれています。
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解答付きの問題
次の回路において、コンデンサ \( C \)、抵抗 \( R \)、および電流 \( i \) にかかる電圧を時間の関数として求め、グラフ化しなさい。
図1 - ローパスRC回路
入力電圧 \( v_i(t) \) が次のグラフに示される方形波であるとします。
図2 - RC回路への入力としての方形波
問題の解答
すでに求められたRC回路におけるコンデンサの電圧 \( V_C(s) \) と入力電圧 \( V_i(s) \) を関係付ける方程式を使用します。
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
次に、方形波 \( v_i(t) \) のラプラス変換 \( V_i(s) \) を求めます。
まず、方形波をシフトした単位ステップ関数の和として次のように表します。
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
この式の両辺のラプラス変換を取り、ラプラス変換の線形性の性質を利用して次のように書きます。
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
シフトした単位ステップ関数 \( u(t - \alpha) \) のラプラス変換は次のように表されます。
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
この式を用いて、ラプラス変換 \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \) を次のように書きます。
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
式 (i) に \( V_i(s) \) を上記の式で代入し、\( V_C(s) \) について解き、\( V_C(s) \) を右辺にすべて集めます。
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
\( V_C(s) \) を解きます。
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
有理式 \( \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \) を部分分数展開（付録-A 参照）し、次のように書き換えます。
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
右側の項の分子と分母を \( R\;C \) で割り、\( V_0 \) を外に出して次のように書き換えます。
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
上記の式を (II) で与えられた \( V_C(s) \) に代入し、次のように \( V_C(s) \) を書きます。
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
上記は次のように書けます。
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- e^{-(n+1/2)\;T s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \)
次に、\( V_C(s) \) のラプラス逆変換 \( v_C(t) \) を求めます（時間領域）。
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
この中の2つの主要な項は次のように書けます。
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
ラプラス変換の性質の式を使用して次のように書けます。
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) 、ここで \( f(t) \) は \( F(s) \) のラプラス逆変換です。
次に、ラプラス変換の公式を使用して次を評価します。
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
以上をすべて使用して、\( v_C(t) \) を次のように書きます。
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
数値例
\( V_0 = 10 \) V、\( R = 200 \; \Omega \)、\( C = 5 \) mF とします。
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) 秒
次に、上記で定義された方形波としての入力 \(v_i(t) \) と、コンデンサにかかる電圧 \( v_C(t) \) のグラフを示します。入力方形波の周期 \( T \) の異なる4つのグラフがあります。
a) \( T = 15 RC = 15 \) 秒
図3 - 入力方形波とコンデンサにかかる電圧 \( v_C(t) \) のグラフ (T = 15 RC)
b) \( T = 10 RC = 10 \) 秒
図4 - 入力方形波とコンデンサにかかる電圧 \( v_C(t) \) のグラフ (T = 10 RC)
c) \( T = 5 RC = 5 \) 秒
図5 - 入力方形波とコンデンサにかかる電圧 \( v_C(t) \) のグラフ (T = 5 RC)
d) \( T = 2 RC = 2 \) 秒
図6 - 入力方形波とコンデンサにかかる電圧 \( v_C(t) \) のグラフ (T = 2 RC)
その他の参照およびリンク
ステップ電圧に対するRC回路の応答
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