常微分方程式 (ODE) を解くためにラプラス変換を使用する例を示します。
ラプラス変換を使用して微分方程式を解く主な利点の1つは、ラプラス変換が微分方程式を代数方程式に変換することです。
部分分数への分解に関連する重い計算は、ページの下部の付録に示されています。
例 1
ラプラス変換を使用して次の微分方程式を解いてください。
\[ - 2 y' + y = 0 \]
初期条件 \( y(0) = 1 \) とし、\( y \) は時間 \( t \) の関数とします。
例1の解答
\( Y(s) \) を \( y(t) \) のラプラス変換とします。
与えられた微分方程式の両辺にラプラス変換を適用します: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の線形性の性質を使用して式を次のように書き換えます。
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の微分の性質を使用して、項 \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \) を書き換えます。
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
上記の式を展開します。
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
\( y(0) \) の値を代入します。
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
\( Y(s) \) について解きます。
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
次に、ラプラス変換の公式表の公式 (3) を使用して、上で得られた \( Y(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
注意: 解の確認
得られた解 \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) が与えられた微分方程式を満たすか確認しましょう。
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
上記を簡略化します。
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; 微分方程式は満たされています。
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; 初期値も満たされています。
例 2
ラプラス変換を使用して次の微分方程式を解いてください。
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
初期条件 \( y(0) = 2 \) および \( y'(0) = - 1 \) とし、\( y \) は時間 \( t \) の関数とします。
例2の解答
\( Y(s) \) を \( y(t) \) のラプラス変換とします。
与えられた微分方程式の両辺にラプラス変換を適用します。
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の線形性の性質を使用して式を次のように書き換えます。
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の1次および2次微分の性質を使用して、\( \mathscr{L}\{ y"\} \) および \( \mathscr{L}\{ y'\} \) の項を簡略化します。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
\( y(0) \) および \( y'(0) \) の値を代入し、展開します。
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
同じ項をグループ化し、\( Y(s) \) を左辺にまとめます。
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
\( Y(s) \) を外に括り出します。
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
上記を \( Y(s) \) について解きます。
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
右辺を部分分数に展開します（詳細はページ下部の付録Aに記載）。
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
次に、ラプラス変換の公式表の公式 (3) を使用して、得られた \( Y(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
得られた解が微分方程式と初期条件を満たしているか確認してください。
例 3
ラプラス変換を使用して次の微分方程式を解いてください。
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
初期条件 \( y(0) = -1 \) および \( y'(0) = 2 \) とし、\( y \) は時間 \( t \) の関数とします。
例3の解答
\( Y(s) \) を \( y(t) \) のラプラス変換とします。
与えられた微分方程式の両辺にラプラス変換を適用します。
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の線形性の性質を使用して式を次のように書き換えます。
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
ラプラス変換の1次および2次微分の性質を使用して、\( \mathscr{L}\{ y"\} \) および \( \mathscr{L}\{ y'\} \) の項を簡略化します。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
\( y(0) \) および \( y'(0) \) の値を代入し、展開します。
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
同じ項をグループ化し、\( Y(s) \) を左辺にまとめます。
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
\( Y(s) \) を外に括り出します。
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
上記を \( Y(s) \) について解きます。
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
複素数上で分母を因数分解します。
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \) を解くと、2つの複素数解が得られます。
\( S_1 = -1 + j \) および \( s_2 = -1 - j \)
因数分解します。
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
右辺を部分分数に展開します（付録Bに詳細があります）。
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
\( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \) の逆ラプラス変換を公式表の公式を使用して求めます。
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
次に、\( A \) および \( B \) を指数形式で表します。
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
\( s_1 \)、\( s_2 \)、\( A \)、\( B \) の値を代入し、\( y(t) \) を次のように書きます。
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \) を括り出し、指数をグループ化します。
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
オイラーの公式（\( e^jx = \cos x + j \sin x \)）を使用して、括弧内の項を簡略化します。
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
得られた解が微分方程式と初期条件を満たしているか確認してください。
例 4
ラプラス変換を使用して次の微分方程式を解いてください。
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
初期条件 \( y(0) = 1 \) および \( y'(0) = -1 \) を与えます。
例4の解答
\( Y(s) \) を \( y(t) \) のラプラス変換とします。
与えられた微分方程式の両辺にラプラス変換を適用します。
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
ラプラス変換の線形性の性質を使用して左辺を展開し、表を使用して右辺を評価します。
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
ラプラス変換の1次および2次微分の性質を使用して、\( \mathscr{L}\{ y"\} \) および \( \mathscr{L}\{ y'\} \) の項を簡略化します。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
\( y(0) \) および \( y'(0) \) の値を代入し、展開します。
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
同じ項をグループ化し、\( Y(s) \) を左辺にまとめます。
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
左辺で \( Y(s) \) を外に括り出します。
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
上記を \( Y(s) \) について解きます。
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
分母の項 \( s^2 - s - 2 \) を因数分解します。
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
部分分数に展開します（詳細はページ下部の付録Cに記載）。
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
次に、ラプラス変換の公式表の公式を使用して、\( Y(s) \) の逆ラプラス変換を求めます。
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
例2の部分分数分解
分母の因数分解
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
部分分数に展開
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
上記のすべての項に \( (s-3)(s+1) \) を掛けて簡略化します。
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
式 (1) に \( s = 3 \) を代入します。
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
簡略化し、\( B \) を解きます。
\( B = 1/4 \)
式 (1) に \( s = - 1 \) を代入します。
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
簡略化し、\( A \) を解きます。
\( A = \dfrac{7}{4} \)
例3の部分分数分解
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \) の部分分数分解
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
上記のすべての項に \( (s - s_1)(s - s_2) \) を掛けて簡略化します。
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
\( s=s_1 \) で上式を評価します。
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
簡略化
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
\( A \) を解きます。
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
同様に、\( S = s_2 \) で評価して \( B \) を解きます。
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
例4の部分分数展開
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
分母の因数分解
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
右辺を簡略化
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
部分分数に展開
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
すべての項に分母 \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) を掛けて簡略化
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
計算を簡略化する \( A, B, C \), および \( D \) の係数の値を選択します。
式 (1) に \( s = 2 \) を代入します。
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
簡略化
\( 3 = 39 D \)
\( D \) を解きます。
\( D = \dfrac{1}{13} \)
式 (1) に \( s = -1 \) を代入します。
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
簡略化
\( 3 - 30 = - 30 C \)
\( C \) を解きます。
\( C = \dfrac{9}{10} \)
式 (1) に \( s = 0 \) を代入します。
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
簡略化
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
上記で得られた \( C \) および \( D \) の値を代入し、\( B \) を解いて次の値を得ます。
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
式 (1) に \( s = 1 \) を代入します。
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
上記で得られた \( B, C \), および \( D \) の値を代入し、\( A \) を解いて次の値を得ます。
\( A = \dfrac{3}{130} \)
したがって
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)