AC 회로에서 동등 임피던스 계산

목차

AC 회로에서 동등 임피던스를 계산하는 방법에 대한 예제와 함께 복소수로 임피던스를 표시하는 표준, 복합 및 극형 형태로 제시됩니다. 예제에 대한 상세한 해결 방법도 제시됩니다.

해결책 예제

예제 1
아래 회로에서 점 A와 B 사이의 동등 임피던스를 찾아 지수 및 극형으로 작성하십시오. .

예제 1의 해결책
\( Z_1 \)을 저항 R의 임피던스로 정의하고 따라서 \( Z_1 = R\)
\( Z_2 \)를 병렬에 있는 커패시터 \( C \)와 인덕터 \( L \)의 임피던스로 정의합니다.
\( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)는 직렬에 있으며 동등 임피던스 \( Z_{AB} \)는 직렬 임피던스 규칙에 따라 다음과 같이 주어집니다.
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

복소수 형태로 용량 \( C \)의 임피던스는 \( \dfrac{1}{ j \omega C} \)입니다.
인덕터 \( L \)의 임피던스는 \( j \omega L \)입니다.
이제 \( Z_2 \)를 계산하기 위해 병렬 임피던스 규칙을 사용하여 다음과 같이 \( Z_2 \)를 계산합니다.
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
이것을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
공통 분모를 사용하여 오른쪽 항을 쓰면
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
\( Z_2 \)를 구합니다.
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
\( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)의 표현식으로 대체하여 \( Z_{AB} \)를 얻습니다.
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
\( |Z_{AB}| \)와 \( \theta \)의 모듈러스를 찾습니다.
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
지수 형태에서 동등 임피던스는 다음과 같습니다.
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\ omega^2 C L)}} \)
극형으로 표시됩니다.
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

예제 2
아래 회로에서 점 A와 B 사이의 동등 임피던스를 찾아 지수 및 극형으로 작성하십시오. 주어진:
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) 주파수 \( f = 1.5 \; kHz \)

예제 2의 해결책
\( Z_1 \)은 병렬에 있는 커패시터 \( C_1 \) 및 인덕터 \( L_1 \)의 임피던스입니다.
\( Z_2 \)는 병렬에 있는 커패시터 \( C_2 \) 및 인덕터 \( L_2 \)의 임피던스입니다.
\( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)는 아래에 표시된대로 직렬에 있으므로 직렬 임피던스를 사용하여 \( Z_{AB} \)를 계산합니다.
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


이제 병렬 임피던스 규칙을 사용하여 \( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)를 계산합니다.
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
위를 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
공통 분모로 오른쪽 항을 작성합니다.
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
\( Z_1 \)을 풀어서 구합니다.
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \)는 \( Z_1 \)과 유사한 방식으로 계산됩니다.
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
\( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)의 식으로 \( Z_{AB} \)에 대체하여
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
\( j \omega \)를 곱하고 \( Z_{AB} \)를 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
\( Z_{AB} \)에 \( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \) 및 \( \omega = 2 \pi f \)의 숫자 값을 대입하여
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
\( Z_{AB} \)가 순수 허수이므로 모듈러스 \( |Z_{AB}| \)와 인수 \( \theta \)는 다음과 같습니다.
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
지수 형태
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
극형
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

예제 3
아래 회로에서 점 A와 B 사이의 동등 임피던스를 찾아 지수 및 극형으로 작성하십시오.
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 주파수 \( f = 0.5 \; kHz \)

예제 3의 해결책
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) 및 \( Z_3 \)은 병렬에 있으며 병렬 임피던스 규칙을 사용하여 동등 임피던스 \( Z_{2,3} \)는 다음과 같이 주어집니다.
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \)과 \( Z_{2,3} \)은 직렬에 있으므로
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
대체합니다
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) 주파수 \( f = 0.5 \; kHz \)의 숫자 값으로 대체하여
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
\( Z_{AB} \)의 모듈러스
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
\( Z_{AB} \)의 인수
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) 또는 \( \theta = -17.07^{\circ} \)
지수 형태로
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
극형으로
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

추가 참고 자료 및 링크