점 A와 B 사이의 동등 임피던스는 다음과 같습니다.
\[ Z_{AB} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n\]
복소 임피던스가 AC 회로에서 연속 및 병렬 임피던스를 계산하는 데 사용되는 방법을 여기서 설명합니다. 모든 단계는 기호적 계산을 사용하여 보여지고 나중에 숫자 값이 사용됩니다.
AC 회로에서 전류를 나타내는 기호 \( i \) 대신에 여기서는 \( j \)를 사용하며, \( j^2 = -1 \) 또는 \( j = \sqrt{-1} \)으로 정의됩니다.
\( Z_1 \) , \( Z_2 \) ... \( Z_n \)이 아래에 나와 있는 연속 임피던스라고 가정합시다.
점 A와 B 사이의 동등 임피던스는 다음과 같습니다.
\[ Z_{AB} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n\]
예제 1
아래에 표시된 시리즈 RLC 회로의 복소 임피던스를 찾으십시오. 다음 값이 주어집니다:
주파수 \( f = 1 \; kHz \) , \( C = 10 \; \mu F \) , \( L = 10 \; mH \) 및 \( R = 100 \; \Omega \)
문제 1의 해결책
다음을 가정하십시오.
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} = \dfrac{-j}{\omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
연속 회로의 임피던스 규칙을 적용하십시오.
\( Z_{AB} = Z_R + Z_C + Z_L = R - \dfrac{j}{\omega C} + j \omega L \)
다음을 정의하십시오.
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L \) 그리고 \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2 \pi f C} \)
그리고 다음과 같이 \( Z_{AB} \)를 다시 작성하십시오.
\( Z_{AB} = R + j(X_L - X_C) \)
수치 값을 대입하십시오.
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 10^3 10^{-2} = 62.83 \Omega \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2 \pi f C} = \dfrac{1}{2 \pi 10^3 10^{-5} } = 15.92 \Omega \)
허수 항을 그룹화하십시오.
\( Z_{AB} = 100 + j ( 62.83 - 15.92 ) \)
단순화하십시오.
\( Z_{AB} = 100 + j ( 62.83 - 15.92 ) = 100 + 46.91 j\)
지수 형태로 위의 값을 작성하십시오.
\( Z_{AB} = \sqrt {100^2 + 46.91^2} e^{j \arctan{\dfrac{46.91}{100}}} = 110.45 e^{j 0.44} \)
\( Z_{AB} \)를 페이저 형태로 작성하십시오
\( Z_{AB} = 110.45 \angle 0.44 \; rad = 110.45 \angle 25.13^{\circ} \)
더 많은 연습을 위해 시리즈 RLC 회로
임피던스 계산기를 사용할 수 있습니다.
\( Z_1 \) , \( Z_2 \) ... \( Z_n \)이 아래에 나와 있는 병렬 임피던스라고 가정합시다.
점 A와 B 사이의 동등 임피던스는 다음과 같습니다.
\[ \dfrac{1}{Z_{AB}} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + ... + \dfrac{1}{Z_n} \]
예제 2
아래에 표시된 병렬 RLC 회로의 복소 임피던스를 찾으십시오. 다음 값이 주어집니다:
주파수 \( f = 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) 및 \( R = 50 \; \Omega \)
문제 2의 해결책
다음을 가정하십시오.
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
병렬 회로의 임피던스 규칙을 적용하십시오.
\( \dfrac{1}{Z_{AB}} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
다음을 정의하십시오.
\( X_L = \omega L \) 그리고 \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
그리고 위의 것을 다시 작성하십시오
\( \dfrac{1}{Z_{AB}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z_{AB}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
위의 복소수의 크기 \( r \)은 다음과 같습니다.
\( r = \sqrt { (\dfrac{1}{R})^2 + (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} )^2} \)
그리고 인수 \( \alpha \)는 다음과 같습니다.
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
이제 복소수의 지수 형태를 사용하여 다음과 같이 작성합니다.
\( \dfrac{1}{Z_{AB}} = r e^{j\alpha} \)
이제 동등 임피던스 \( Z_{AB} \)를 복소수의 지수 형태로 작성합니다.
\( Z_{AB} = \dfrac{1}{r} e^{-j \alpha} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} e^{-j \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) } \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} e^{j \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) } \)
이제 주어진 값을 사용합니다.
\( f = 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) 및 \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
모듈: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left
(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
인수: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
더 많은 연습을 위해 병렬 RLC 회로 임피던스 계산기를 사용할 수 있습니다.