Indice

Calcoli di Integrali Doppi

Sono presentati esempi per calcolare ed valutare integrali doppi con le loro soluzioni dettagliate. Integrali doppi su regioni generali e integrali doppi in coordinate polari sono inclusi. \( \)\( \)\( \)

Revisione degli Integrali Singoli e Doppi

Gli integrali singoli sono usati per trovare l'area sotto la curva di una funzione data \( f(x) \) come mostrato nel grafico qui sotto.
L'area sotto la curva da \( x = a \) a \( x = b \) è data da: \( \displaystyle \int_a^b f(x) \; dx \)
Area sotto la curva
Per le forme tridimensionali, siamo interessati a calcolare il volume sotto la superficie definita da una funzione in due variabili \( f(x,y) \) e il cui base è \( R \) (verde) come mostrato nel grafico a) qui sotto.
Volume della forma tridimensionale
Nel grafico mostrato sopra, la base \( R \) della forma tridimensionale è un rettangolo definito da \( 0 \le x \le a \) e \( 0 \le y \le b \); ma in generale \( R \) può avere qualsiasi forma 2D come vedremo in ulteriori esempi.
Ci sono due modi per calcolare il volume della forma tridimensionale.
1)
suddividere la forma tridimensionale in un numero infinito di aree trasversali \( A_1(x) \) perpendicolari all'asse \( x \) a valori fissati di \( x \), come mostrato nel grafico b), e quindi usare il concetto di integrale singolo che è fondamentalmente una somma continua per trovare il volume \( V \) come
\( \displaystyle V = \int_0^a A_1(x) \; dx \)
L'area trasversale \( A_1(x) \) è parallela al piano z-y e può essere trovata dall'integrazione di \( f(x,y) \) su \( y \) come si farebbe con un integrale singolo per trovare l'area sotto una curva, come segue
\( \displaystyle A_1(x) = \int_0^b f(x,y) \; dy \)
Sostituisci \( A_1(x) \) in \( V \) per ottenere
\( \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \)

2)
suddividere la forma tridimensionale in un numero infinito di aree trasversali \( A_2(y) \) perpendicolari all'asse \( y \) a valori fissati di \( y \), come mostrato nel grafico c), e quindi usare il concetto di integrale singolo che è fondamentalmente una somma continua per trovare il volume \( V \) come
\( V = \displaystyle \int_0^b A_2(y) \; dy \)
L'area trasversale \( A_2(y) \) è parallela al piano z-x e può essere trovata dall'integrazione di \( f(x,y) \) su \( x \) come si farebbe con un integrale singolo per trovare l'area sotto una curva, come segue
\( \displaystyle A_2(y) = \int_0^a f(x,y) \; dx \)
Sostituisci \( A_2(x) \) in \( V \) per ottenere
\( \displaystyle V = \int_0^b \int_0^a f(x,y)\; dx \; dy \)
Quanto sopra è riassunto come Teorema di Fubini
\[ \iint_R f(x,y) \ ,dx\,dy = \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \] La regione R è un rettangolo definito da: \( 0 \le x \le a \) e \( 0 \le y \le b \)
Gli integrali sopra sono chiamati integrali iterati.
Tutte le formule e regole per gli integrali possono essere usate per calcolare questi integrali.


Calcoli di Integrali Singoli con Integrale con Più di una Variabile

Prima di iniziare gli esempi per calcolare integrali doppi, vediamo prima come valutare gli integrali quando l'integrando ha più di una variabile poiché questa è la competenza di base necessaria per valutare integrali doppi e tripli..
Esempio 1
Valutare gli integrali
a) \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) , b) \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) , c) \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx \) , d) \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)
Soluzione all'Esempio 1
a)
Per calcolare \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \), consideriamo \( y \) come una costante poiché l'integrazione è rispetto a \( x \).
Nota che \( \displaystyle \int (x^2) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3\) e \( \displaystyle \int ( y^2) \; dx = y^2 x\) poiché \( y \) e quindi \( y^2 \) sono considerate costanti. Quindi
\( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 + y^2 x \right]_0^3 \)
Sostituisci per valutare l'integrale
\( = (\dfrac{1}{3}(3)^3 + y^2 (3)) - (\dfrac{1}{3}(0)^3 + y^2 (0)) \)
Semplifica
\( = 3 y^2 + 9 \)
b)
Per calcolare \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \), consideriamo \( x \) come una costante poiché l'integrazione è rispetto a \( y \).
Nota che \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \; dy = \dfrac{1}{x} y \) poiché \( x \) e quindi \( 1/x \) sono considerati costanti e \( \displaystyle \int \dfrac{1}{y} \; dy = \ln |y|\). Quindi
\( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy = \left[ \dfrac{1}{x} y + \ln |y| \right]_3^5 \)
Sostituisci per valutare l'integrale
\( = ( \dfrac{1}{x} (5) + \ln|5|) - ( \dfrac{1}{x} (3) + \ln|3| ) \)
Semplifica
\( = \dfrac{2}{x} + \ln(5/3) \)
c)
Per calcolare \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx\), consideriamo \( y \) come una costante poiché l'integrazione è rispetto a \( x \).
Nota che \( \displaystyle \int x y \; dx = \dfrac{1}{2} x^2 y \) e \( \displaystyle \int y \; dx = y x \) poiché \( y \) è considerata costante. Quindi
\( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y ) \; dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^2 y + y x \right]_{y+1}^{y^2} \)
Sostituisci per valutare l'integrale notando che i limiti di integrazione sono funzioni di \( y \)
\( = ( \dfrac{1}{2} (y^2)^2 y + y (y^2) ) - ( \dfrac{1}{2} (y+1)^2 y + y (y+1) ) \)
Semplifica
\( = \dfrac{y^5+y^3-4y^2-3y}{2} \)
d)
Per calcolare \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \), consideriamo \( x \) come una costante poiché l'integrazione è rispetto a \( y \).
Nota che \( \displaystyle \int \sin( x y) \; dy = - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \) poiché \( x \) è considerato costante. Quindi
\( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy = \left[ - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \right]_0^{x-1} \)
Sostituisci per valutare l'integrale notando che i limiti di integrazione sono funzioni di \( x \)
\( = ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(x-1)) ) - ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(0)) ) \)
Semplifica
\( = - \dfrac{1}{x} \cos(x^2 - x) + 1/x\)


Calcoli di Integrali Doppi

L'idea principale nel calcolare integrali doppi è di suddividere l'integrale doppio in due integrali singoli. Ci sono due modi per valutare gli integrali doppi
1) Valutare prima l'integrale in \( x \):
\( \displaystyle \int_0^b \int_0^a f(x,y) dx dy = \int_0^b \left(\int_0^a f(x,y) \;dx\right) \;dy \)
2) Valutare prima l'integrale in \( y \):
\( \displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy = \int_0^a \left(\int_0^b f(x,y) \;dy\right) \;dx \)
Nota Un modo per valutare un integrale doppio è valutare gli integrali interni ed esterni separatamente.

Esempio 2
Usare entrambi i metodi sopra indicati per valutare l'integrale doppio \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
Soluzione all'Esempio 2
1) Calcoliamo prima l'integrale in \( x \) e poi l'integrale in \( y \).
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
Valutiamo prima l'integrale interno \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) assumendo che \( y \) sia costante in modo simile al calcolo delle derivate parziali.
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
Valutiamo quanto sopra
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
Semplifica
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
Sostituisci \( I \) in \( V \) e calcola l'integrale esterno
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
Valutiamo l'integrale sopra
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)

2) Calcoliamo prima l'integrale in \( y \) e poi l'integrale in \( x \).

\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
Valutiamo l'integrale interno \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) assumendo che \( x \) sia costante
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
Semplifica
\( I = 2x^2 \)
Sostituisci \( I \) in \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
Valutiamo l'integrale sopra
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
Note
1) i due modi di dividere l'integrale danno la stessa risposta.
2) Anche se stavamo calcolando un integrale doppio, stavamo in realtà trattando integrali singoli e naturalmente tutte le formule e le proprietà degli integrali possono essere utilizzate.


Altri Esempi con Soluzioni

Esempio 3
Valutare l'integrale doppio \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
Soluzione all'Esempio 3
Iniziamo con l'integrale interno
Sia \( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
Valutiamo \( I \)
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
Valutiamo quanto sopra
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
Semplifica
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
Sostituisci l'integrale interno \( I \) in \( V \)
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
Calcoliamo gli integrali sopra
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
Valutiamo usando i limiti di integrazione
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)


Esempio 4 I limiti di integrazione possono contenere variabili
Valutare l'integrale doppio \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
Soluzione all'Esempio 4
Sia l'integrale interno \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \)
Calcoliamo l'integrale sopra
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
Valutiamo \( I \) usando i limiti di integrazione
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
Semplifichiamo
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
Sostituisci \( I \) in \( V \) e calcola l'integrale esterno
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
Calcoliamo gli integrali sopra
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
Semplifichiamo
\( V = \ln 2 + 1 \)


Esempio 5
Valutare l'integrale doppio \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
Soluzione all'Esempio 5
Sia l'integrale interno \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \)
Calcoliamo l'integrale sopra
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
Valutiamo \( I \) usando i limiti di integrazione
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
Sostituisci \( I \) in \( V \) e calcola l'integrale esterno
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
Calcoliamo gli integrali sopra
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
Semplifichiamo
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)


Esempio 6
Trova la costante \( k \) in modo che \( \displaystyle \int _0^1\:\ int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \)
Soluzione all'Esempio 6
Sia \( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \)
Sia l'integrale interno \( \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \)
Calcola \( I \)
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2}+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
Sostituisci \( I \) in \( V \)
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
Valuta \( V \)
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
Ora risolviamo per \( k \) l'equazione
\( k = 2 \)


Esempio 7
Trova la costante \( b \) in modo che \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \) e \( b \gt 0\)
Soluzione all'Esempio 7
Sia \( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \)
Sia \( I \) l'integrale interno
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
Calcola \( I \)
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
Sostituisci \( I \) in \( V \) e valuta \( V \)
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
Per trovare \( b \), risolviamo l'equazione
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
Risolviamo l'equazione sopra
e selezioniamo la soluzione positiva
\( b = -3+\sqrt{29} \)


Altre Domande con Risposte

Parte 1: Calcola gli integrali
  1. \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^4\left( x^2+y^2 \right)dy\:dx \)
  2. \( \displaystyle \int _2^4\:\int _1^4\left(\:\:x^2\:\:+\dfrac{1}{y^{\:}}\right)dy\:dx \)
  3. \( \displaystyle \int _2^3\:\int _1^5\:\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)dx \: dy \)
  4. \( \displaystyle \int _0^{\frac{\pi }{2}}\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin\left(x+y\right)\right)dy\:dx \)
Parte 2: Trova \( b \) diverso da \( -1 \) o \( -2 \) in modo che \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = 0 \)


Risposte alle Domande

Parte 1:
  1. \( \dfrac{92}{3} \)
  2. \( 4\ln (2) +56 \)
  3. \( \dfrac{5}{2} \ln (5)+12 \ln (3/2) \)
  4. \( 2 \)
Parte 2: \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e\right) \)
Risolviamo l'equazione: \( \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e \right) = 0 \)
che dà due soluzioni: \( b = 1\) e \( b = 2 \)



Altri Riferimenti e Link

area sotto la curva
Valutare gli Integrali
Formule e Regole per gli Integrali in Calcolo
Teorema di Fubini
Gilbert Strang; MIT, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991
Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; University Calculus , Early Transcendentals, Third Edition , Boston Columbus , 2016, Pearson.
Matematica per Ingegneri con Esempi e Soluzioni