Indice

Integrali Doppi su Regioni Generali

Calcoli di Integrali Doppi su Regioni Generali

Esempio 1
Domanda: Calcolare l'integrale doppio \( \displaystyle V = \iint_R (x^2+y) \;dy \;dx \) dove la regione \( R \) è un triangolo sul piano \( xy\)-plane delimitato dall'asse \(x\), l'asse \(y\) e la linea \( y = - x + 2 \).
Soluzione dell'Esempio 1
Quattro passaggi principali per calcolare integrali doppi con regioni generali di integrazione.
PASSO 1 Fare un grafico e/o un diagramma che rappresenti la regione generale
Iniziamo disegnando un grafico o/e un diagramma della regione \( R \) di integrazione. In questo esempio è un triangolo con lati sull'asse \(x\) e sull'asse \(y\) e il terzo lato è descritto dall'equazione della linea \( y = - x + 2 \). Questo triangolo può anche essere definito da tre vertici: l'origine e i punti di intersezione della linea \( y = - x + 2 \) con gli assi \(x\) e \(y\) dati rispettivamente da \( (2,0) \) e \( (0,2) \) come mostrato nel grafico qui sotto.



Ci sono due modi per calcolare l'integrale dato sulla regione data.
PASSO 2 Decidere come descrivere la regione generale utilizzando strisce
1) Utilizziamo strisce verticali per descrivere la regione \( R \) come mostrato nel grafico qui sotto.
Assumiamo che la regione R possa essere considerata come un insieme infinito di strisce verticali come mostrato nel diagramma qui sotto.
Qualsiasi striscia verticale data, in un dato \( x \), inizia a \( y = 0 \) e termina a \( y = - x + 2 \). Poiché dobbiamo includere tutte le strisce che descrivono la regione \( R \), \( x \) deve assumere valori da \( x = 0 \) a \( x = 2 \). Pertanto, la regione \( R \) di integrazione può essere definita da:
PASSO 3 Descrivere la regione generale di integrazione utilizzando disuguaglianze
\( R \) : \( 0 \le x \le \ 2 \) , \( 0 \le y \le - x + 2 \)


PASSO 4 Calcolare l'integrale
L'integrale può essere scritto come
\( \displaystyle V = \int_0^2 \int_0^{-x+2} (x^2+y) \;dy \;dx \)
\( = \displaystyle \int_0^2 ( -x^3 +\dfrac{5}{2} x^2 - 2x + 2) \;dx = 8/3\)


Rispondiamo ora alla stessa domanda ma utilizzando strisce orizzontali. Il PASSO 1 è lo stesso di sopra
PASSO 2 Decidere come descrivere la regione generale utilizzando strisce
2) Utilizziamo strisce orizzontali per descrivere la regione \( R \) come mostrato nel grafico qui sotto.
Assumiamo che la regione R possa essere considerata come un insieme infinito di strisce orizzontali come mostrato nel diagramma qui sotto.
Qualsiasi striscia verticale data, in un dato \( y \), inizia a \( x = 0 \) e termina a \( x = - y + 2 \). Poiché dobbiamo includere tutte le strisce che descrivono la regione \( R \), \( y \) deve assumere valori da \( y = 0 \) a \( y = 2 \). Pertanto, la regione \( R \) di integrazione può essere definita da:
PASSO 3 Descrivere la regione generale di integrazione utilizzando disuguaglianze
\( R \) : \( 0 \le x \le - y + 2 \) , \( 0 \le y \le 2 \)



PASSO 4 Calcolare l'integrale
Quindi l'integrale può essere scritto come
\( \displaystyle V = \int_0^2 \int_0^{-y+2} (x^2+y) \;dx \;dy \)
\( = \displaystyle \int_0^2 (-\dfrac{1}{3} y^3 + y^2 - 2 y + \dfrac{8}{3} ) \;dy = 8/3 \)
Note In entrambi i casi, l'integrale i cui limiti includono variabili è l'integrale interno

Esempio 2
Domanda: Calcolare l'integrale doppio \( \displaystyle V = \iint_R (x+y) \;dy \;dx \) dove la regione \( R \) è sul piano \( xy\)-plane delimitata dall'asse \(y\), dalle curve di equazioni \( y = x^3 \) e \( y = - x^2 + 2 \).

Soluzione dell'Esempio 2
Iniziamo analizzando la regione \( R \) come mostrato nel grafico qui sotto. Le due curve si intersecano in un punto il cui coordinata \( x \) è data dalla soluzione del sistema di equazioni
\( y = x^3 \)
\(y = - x^2 + 2 \)
Un modo per risolvere il sistema sopra è sottrarre le due equazioni e semplificare per eliminare \( y \) e ottenere un'equazione in \(x \) solo per ottenere l'equazione
\( 0 = x^3 + x^2 - 2 \)
Con l'aiuto del grafico, è facile vedere che \( x = 1 \) è una soluzione del sistema di equazioni sopra, che è possibile verificare analiticamente.
La coordinata \(y\) del punto di intersezione delle due curve si trova sostituendo \( x \) con la soluzione trovata in precedenza \( 1 \) in una delle equazioni delle curve per trovare \( y = (1)^3 = 1 \).
Quindi il punto di intersezione è dato da \( (1,1) \)

1) Utilizzando strisce verticali
Una data striscia verticale inizia sulla curva \( y = x^3 \) e termina sulla curva \( x = - x^2 + 2 \). Per tutta la regione, \( x \) deve assumere tutti i valori da \( x = 0 \) a \( x = 1 \). Quindi la regione \( R \) di integrazione è data da \( R \) : \( 0 \le x \le 1 \) , \( x^3 \le y \le - x^2 + 2 \) Quindi l'integrale può essere calcolato come segue
\( \displaystyle V = \int_0^1 \int_{x^3}^{-x^2+2} (x+y) \;dy \;dx = \dfrac{803}{420}\)


2) Utilizzando strisce orizzontali
Una data striscia orizzontale inizia sull'asse \(y\) \( x = 0 \) e termina sulla curva \( x = \sqrt[3]y \) o sulla curva \( x = \sqrt{- y+ 2} \). A causa delle due curve diverse, la regione \( R \) può essere divisa in due regioni \( R_1 \) e \( R_2 \).
Per la regione \( R_1 \), \( y \) deve assumere tutti i valori da \( y = 0 \) a \( y = 1 \) e per la regione \( R_2 \), \( y \) deve assumere tutti i valori da \( y = 1 \) a \( y = 2 \).
Quindi la regione \( R \) di integrazione ha due parti:
\( R_1 \) : \( 0 \le x \le \sqrt[3]y \) , \( 0 \le y \le 1 \)
e
\( R_2 \) : \( 0 \le x \le \sqrt{- y+ 2} \) , \( 0 \le y \le 1 \)
Quindi l'integrale può essere calcolato come segue
\( \displaystyle V = \iint_{R_1} (x+y) \;dx \;dy + \iint_{R_2} (x+y) \;dx \;dy \)

\( \displaystyle = \int_0^1 \int_{0}^{\sqrt[3]y} (x+y) \;dx \;dy + \int_1^2 \int_{0}^{\sqrt{-y+2}} (x+y) \;dx \;dy = \dfrac{803}{420}\)

Esempi in cui la Scelta dell'Ordine di Integrazione Dipende dal Problema Dato

Esempio 3
Domanda: Calcolare il doppio integrale \( \displaystyle V = \int _0^1 \int _y^1 (y + e^{-x^2}) dx dy \) se possibile. Invertire l'ordine di integrazione se necessario per valutare l'integrale dato.
Soluzione dell'Esempio 3
Iniziamo con l'integrale interno
Sia \( \displaystyle I = \int _y^1 (y+e^{-x^2}) dx \)
Nel tentativo di valutare \( I \) sopra, l'integrale \( \displaystyle I = \int _y^1 (e^{-x^2}) dx \) non può essere eseguito analiticamente.
Secondo i limiti di integrazione dati, la regione \( R \) di integrazione dell'integrale \( V \) può essere scritta come
\( R \) : \( y \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le 1 \)
con il grafico mostrato di seguito come un insieme di strisce orizzontali.


Ora usiamo le strisce verticali per descrivere la regione \( R \) come mostrato nel grafico qui sotto.

\ Disegna il grafico della regione \( R \) di integrazione per vedere se cambiando l'ordine di integrazione, possiamo procedere ulteriormente.
\( R \) : \( 0 \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le x \)
L'integrale \( V \) può essere scritto come
\( \displaystyle V = \int _0^1 \int _0^x (y + e^{-x^2}) dy dx \)
Valutiamo utilizzando l'integrale interno \( I \) dato da
\( \displaystyle I = \int _0^x (y + e^{-x^2}) dy \)
\( = \left[ \dfrac{y^2}{2} + y e^{-x^2} \right]_0^x \)
\( = \dfrac{x^2}{2} + x e^{-x^2} \)
Ora sostituiamo \( I \) in \( V \) e calcoliamo l'integrale dato
\( \displaystyle V = \int _0^1 (\dfrac{x^2}{2} + x e^{-x^2} ) dx \)
\( = \left[ \frac{x^3}{6}-\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_0^1 \)
\( = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}e^{-1} \)

Esempio 4
Valutare il doppio integrale \( \displaystyle V = \iint_R \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right)\:dy \:dx \) sulla regione \( R \) ombreggiata in blu come mostrato di seguito.

Soluzione dell'Esempio 4
Sia l'integrale interno \( \displaystyle I = \int \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) \; dy \)
Si può facilmente vedere che questo integrale non è semplice da fare analiticamente.
Scambiamo l'ordine di integrazione.
\( V = \displaystyle \iint_R \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right)\:dx \:dy \)
La regione \( R \) può essere descritta come:
\( R\) : \( 0 \le x \le y^2 \) , \( 0 \le y \le \sqrt 2 \)


\( \displaystyle V = \int _0^{\sqrt 2} \int _0^{y^2} \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) dx dy \)
Valutiamo l'integrale interno \( I \).
\( I = \displaystyle \int _0^{y^2} \left(\sqrt{1+y^3}+\:x\right) dx \)
\( = \left [ x \sqrt{1+y^3} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{y^2} \)
Valutiamo e semplifichiamo
\( = y^2\sqrt{y^3+1}+\frac{y^4}{2} \)
Sostituire \( I \) in \( V \) e calcolare l'integrale esterno
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\sqrt 2} \left(y^2\sqrt{y^3+1}+\frac{y^4}{2} \right) \; dy \)
Calcolare l'integrale sopra
\( \displaystyle V = \left [ \frac{2}{9}\left(y^3+1\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{y^5}{10} \right]_0^{\sqrt 2} \)
Semplificare
\( V = \frac{2}{9}\left(\left(\sqrt{2}\right)^3+1\right)^{\frac{3}{2}}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^5}{10}-\dfrac{2}{9} \approx 2.00 \)

Esempio 5
Valutare il doppio integrale \( \displaystyle V = \iint_R (x+y)\:dydx \) sulla regione \( R \) delimitata dalle curve delle equazioni \( x = (y-2)^2-2 \) e \( y = - x + 6 \)
Soluzione dell'Esempio 5
Se si utilizzano strisce verticali, la regione di integrazione avrà due parti perché i limiti di \( y \) sono diversi negli intervalli \( -2 \le x \le 2 \) e \( 2 \le x \le 7 \) e i calcoli dell'integrale sono molto impegnativi.
Utilizziamo quindi strisce orizzontali.


La regione \( R \) può essere descritta come:
\( R\) : \( (y-2)^2 - 2 \le x \le -y+6 \) , \( -1 \le y \le 4 \)
\( \displaystyle V = \int _{-1}^{4} \int _{(y-2)^2 - 2}^{-y+6} (x+y)\:dx \: dy \)
Sia l'integrale interno \( \displaystyle I = \int _{(y-2)^2 - 2}^{-y+6} (x+y)\:dx \)
Calcoliamo il precedente integrale
\( I = \dfrac{-y^4+6y^3-13y^2+12y+32}{2} \)
Sostituire \( I \) in \( V \) e calcolare l'integrale esterno
\( \displaystyle V = \int _{-1}^4 \left( \dfrac{-y^4+6y^3-13y^2+12y+32}{2} \right) \; dy \)
Calcoliamo il precedente integrale
\( \displaystyle V = \dfrac{1}{2} \left[-\dfrac{y^5}{5}+\dfrac{3y^4}{2}-\dfrac{13y^3}{3}+6y^2+32y\right]_{-1}^4 \)
Valutare
\( V = \dfrac{875}{12} \)
Nota
Come esercizio, dimostrare che utilizzando strisce verticali, il doppio integrale è dato da:
\( \displaystyle \int _{-2}^2\:\int _{2-\sqrt{x+2}}^{2+\sqrt{x+2}}\:\left(x+y\right)dydx+\int _2^7\:\int _{2-\sqrt{x+2}}^{-x+6}\:\left(x+y\right)dydx \)

Altre domande con risposte

1. Scrivere i limiti del doppio integrale \( \displaystyle V = \iint_R x y \;dy \;dx \) e \( \displaystyle V = \iint_R x y \;dx \;dy \) dove la regione \( R \) è sul piano \( xy\) tale che \(x \ge 0\) e \(y \ge 0\) e è delimitata dalla curva il cui equazione è data da \( x^2 + y^2 = 1 \) e valutarlo.
   
2. Scrivere i limiti del doppio integrale \( \displaystyle V = \iint_R \sin(x^2) \;dy \;dx \) e \( \displaystyle V = \iint_R \sin(x^2) \;dx \;dy \) dove la regione \( R \) è un triangolo con i vertici nei punti \( A(0,0)\) , \( B(3,0) \) e \( C(3,3) \) e valutarlo.
   

Risposte alle domande precedenti

1. Regione di integrazione
   
   
   Strisce verticali
   \( 0 \le x \le 1 \) , \( 0 \le y \le \sqrt{1-x^2} \)
   \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^{\sqrt{1-x^2}}\:xy\:dy\:dx = 1/8 \)
   Strisce orizzontali
   \( 0 \le x \le \sqrt{1-y^2} \) , \( 0 \le y \le 1 \)
   \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^{\sqrt{1-y^2}}\:xy\:dx\:dy = 1/8\)
   
   
2. 
   Regione di integrazione
   
   
   Strisce verticali
   \( 0 \le x \le 3\) , \( 0 \le y \le x \)
   \( \displaystyle \int _0^3\:\int _0^x \:\sin(x^2)\:dy\:dx = \dfrac{1}{2}\left(-\cos \left(9\right)+1\right) \)
   Strisce orizzontali
   \( y \le x \le 3 \) , \( 0 \le y \le 3 \)
   \( \displaystyle \int _y^3\:\int _0^3\:\sin(x^2)\:dx\:dy \) Molto difficile da risolvere analiticamente.

Altri Riferimenti e Link

1. Calcoli di Doppie Integrali
   
2. Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis ; Calcolo: Trascendenti Precoci; Willey, 2012.
   
3. Gilbert Strang; MIT, Calcolo, Wellesley-Cambridge Press, 1991
   
4. Joel Hass, Università della California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; Calcolo Universitario , Trascendenti Precoci, Terza Edizione , Boston Columbus , 2016, Pearson.