Resposta do circuito série RLC a uma tensão de degrau

Índice

Uso de transformadas de Laplace para estudar a resposta de um circuito RLC para uma tensão de passo. Fórmulas para a corrente e todas as tensões são desenvolvidas e exemplos numéricos são apresentados juntamente com suas soluções detalhadas.
Uma calculadora on-line para resposta ao degrau de um circuito RLC série pode ser usado para verificar cálculos feitos manualmente.

Fomulas for the Current and Voltages in a Series RLC Circuit in Response to a Step Voltage

Problema
Encontre expressões para a corrente \( i \) e tensões através do capacitor \( C \) , dos indutores \( L \) e do resistor \( R \) em função do tempo no circuito abaixo, dado que a fonte de tensão \( v_i = V_0 \; u(t) \), onde \( V_0\) é uma constante e \( u(t) \) é a função de etapa unitária . A corrente inicial em \( t = 0 \) é igual a zero.

Solução para o problema acima
Use a lei das tensões de Kirchhoff para escrever
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
Use a lei de Ohm para escrever
\( v_R = R \; i \)
Relação entre tensão e corrente de carga de um capacitor
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
Relação entre tensão e corrente de carga de um indutor
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
Substitua \( v_R \) , \( v_L \) e \( v_C \) por suas expressões na equação (I)
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
Faça a transformada de Laplace de ambos os lados da equação acima
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \}\)
Use a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e também o fato de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescrever o acima como
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
Como \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) onde \( V_0 \) é uma constante e \( u(t) \) é a função degrau unitário, \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \)
Seja \( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \)
Use a propriedade da derivada e da integral (consulte fórmulas e propriedades da transformada de Laplace) para escrever
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) já que a corrente inicial é igual a zero \(i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
Após a substituição, nossa equação se torna
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
NOTE that we have transformed our initial differential equation from the \( t \) (time) domain to the \( s \) domain.
Multiply all terms in the above equation by \( s \) and simplify
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
Factor \( I(s) \) out and rewrite the above equation as
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
Solve the above for \( I(s) \) and rewrite as follows
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
Complete the square in the denominator
NOTA que transformamos nossa equação diferencial inicial do domínio \( t \) (tempo) para o domínio \( s \).
Multiplique todos os termos da equação acima por \( s \) e simplifique
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
Fatore \( I(s) \) e reescreva a equação acima como
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
Resolva o acima para \( I(s) \) e reescreva como segue
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
Complete o quadrado no denominador
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
Seja \( \alpha = \dfrac{R}{2L} \)
e reescreva a equação acima como
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

Consideramos agora 3 casos dependendo do sinal da expressão \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Caso 1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : O circuito é subamortecido

Let \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) and rewrite \( I(s) \) as
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
Use fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) e temos o seguinte
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

Aplicações Numéricas - Exemplo 1 - Circuito Subamortecido
Sejam \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 10 \; \Omega \) , \( L = 0,4 \; H \) e \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156,25 \)
Portanto \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; o circuito está subamortecido
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0,4} = 12,50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0,4 \times 50 \ vezes 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0,4}\right)^2} = 223,26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223,26 \times 0,4} \; \sin (223,26 t) \; e^{-12,5 t} \)
Simplificar
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
As tensões podem ser calculadas da seguinte forma
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
Você pode usar a calculadora para resposta ao passo de um circuito RLC em série para verificar todos os cálculos acima.

Caso 2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : O circuito é sobreamortecido

Seja \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) e reescreva \( I(s) \) como
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
Use fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) e temos o seguinte
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

Aplicações Numéricas - Exemplo 2 - Circuito Sobreamortecido
Deixar \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 200 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) and \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
Portanto \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; o circuito está sobreamortecido
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0.4} = 250 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0.4}\right)^2} = 111.80339 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0.01118 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\(\quad \quad = 2.23613 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0.617754 e^{ -138.2 t} + 1.617246 e^{ -361.8 t} \)

\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1.61806 e^{ -138.2 t} + 0.61806 e^{-361.8 t} \)
Você pode usar a calculadora para resposta ao passo de um circuito RLC em série para verificar todos os cálculos acima.

Caso 3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : O circuito é criticamente amortecido

\( I(s) \) simplifica para
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
Use fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace de \( I(s) \) como
Para \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) e temos o seguinte
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-at} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

Aplicações Numéricas - Exemplo 3 - Circuito Criticamente Amortecido
Deixar \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 100 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) and \( C = 160 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
Portanto \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; o circuito está criticamente amortecido
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
Você pode usar a calculadora para resposta ao passo de um circuito RLC em série para verificar todos os cálculos acima.

Mais referências e links