A função delta de Dirac \( \delta(t) \) e a função degrau unitário de Heavisisde \( u(t) \) são apresentadas juntamente com exemplos e soluções detalhadas. Essas duas funções são utilizadas na modelagem matemática de vários sistemas de engenharia. Alguns exemplos de modelagem das respostas de circuitos elétricos a tensões de degrau unitário estão incluídos.
\( \)\( \)\( \)
A unidade Função passo Heaviside escrita como \( u(t) \) (também chamada de função Heaviside e escrita como \( H (t) \) ) é definido como segue
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{for } t \lt 0 \\
1 & \text{for } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
o que portanto leva a
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{for } t \lt t_0 \\
1, & \text{for } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
Um dos principais usos da função step é modelar um switch, por exemplo.
Suponha que precisamos aplicar uma tensão \( v(t) \) a um circuito no momento \( t = t_0 \), a tensão em função do tempo pode ser representada por \( v(t) u(t- t_0) \) de modo que
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{if } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{if } t \lt t_0 \end{cases}
\)
Um exemplo, o gráfico de \( t^2 u(t-1) \) é mostrado abaixo.
Exemplo 1
Avalie as integrais:
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \) b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \) d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \) e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
Solução para o Exemplo 1
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) aplicando a propriedade 1 acima desde \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) aplicando a propriedade 1 acima desde \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) aplicando a propriedade 1 acima desde \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) aplicando a propriedade 2 acima, pois \( - 3 \lt 0 \) ou \( -3 \) está fora do intervalo de integração.
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) aplicando a propriedade 2 acima, pois \( 0 \lt 0^+ \) ou \( 0 \) está fora do intervalo de integração.
Exemplo 2
Avalie as derivadas para:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
Solução para o Exemplo 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
Exemplo 3
Use a função degrau \( u(t) \) para escrever equações nos gráficos mostrados abaixo e suas derivadas.
a)
b)
c)
d)
Solução do Exemplo 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)