Funções Dirac Delta e Unit Heaviside Step - Exemplos com soluções

Índice

A função delta de Dirac \( \delta(t) \) e a função degrau unitário de Heavisisde \( u(t) \) são apresentadas juntamente com exemplos e soluções detalhadas. Essas duas funções são utilizadas na modelagem matemática de vários sistemas de engenharia. Alguns exemplos de modelagem das respostas de circuitos elétricos a tensões de degrau unitário estão incluídos.

\( \)\( \)\( \)

Função de etapa unitária de Heaviside \( u(t) \)

A unidade Função passo Heaviside escrita como \( u(t) \) (também chamada de função Heaviside e escrita como \( H (t) \) ) é definido como segue
\( u(t) = \begin{cases} 0 & \text{for } t \lt 0 \\ 1 & \text{for } t \ge 0 \\ \end{cases} \)

graph of unit step function
Fig.1 - Gráfico da Função Degrau Unitário

o que portanto leva a
\( u(t - t_0) = \begin{cases} 0, & \text{for } t \lt t_0 \\ 1, & \text{for } t \ge t_0 \\ \end{cases} \)
Um dos principais usos da função step é modelar um switch, por exemplo.
Suponha que precisamos aplicar uma tensão \( v(t) \) a um circuito no momento \( t = t_0 \), a tensão em função do tempo pode ser representada por \( v(t) u(t- t_0) \) de modo que
\( v(t) u(t-t_0) \begin{cases} v(t) &\mbox{if } t \ge t_0 \\ 0 & \mbox{if } t \lt t_0 \end{cases} \)
Um exemplo, o gráfico de \( t^2 u(t-1) \) é mostrado abaixo.
unit step function used to model a switch
Fig.2 - Função de etapa unitária usada para modelar um switch
Adições e subtrações de funções degrau unitário podem ser usadas para modelar pulsos; um exemplo é mostrado abaixo.
unit step function used to model a pulse
Fig.3 - Função de degrau unitário usada para modelar um pulso

Função Delta de Dirac \( \delta(t) \)

A função delta de Dirac é definida pela integral
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta (\tau - t_0) d\tau = u(t - t_0) \)
Embora a função degrau unitário \( u(t - t_0) \) seja descontínua em \( t = t_0 \), podemos definir a derivada da função de degrau unitário pela função delta de Dirac como segue
\( \dfrac{d u(t - t_0)}{dt} = \delta (t - t_0) \)
que pode assumir um valor "muito grande" em \( t = t_0 \) e, portanto, a função delta de Dirac também pode ser vista como
\( \delta(t - t_0) = \begin{cases} \infty & \text{for } t = t_0 \\ 0 & \text{for } t \ne t_0 \\ \end{cases} \)
A função delta de Dirac define a derivada em uma descontinuidade finita; um exemplo é mostrado abaixo.
relação gráfica entre a função delta de Dirac e a função degrau unitário
Fig.4 - Relação gráfica entre a função delta de Dirac e a função degrau unitário
A função delta de Dirac possui as seguintes propriedades:
    \( \delta(t - t_0) \) é igual a zero em todos os lugares, exceto em \( t = t_0 \), daí as propriedades 1, 2 e 3.
  1. \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = f(t_0) \) if \( a \lt t_0 \lt b \)      (ou \(t_0 \) está dentro do intervalo de integração).

  2. \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = 0 \) se \( t_0 \gt b \) ou \( t_0 \lt a \)     (ou \( t_0 \) está fora do intervalo de integração).

  3. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t) dt = 1 \)

  4. \( \delta (t - t_0) = \delta (t_0 - t) \) porque \( \delta(t) \) é uma função par

  5. \( f(t) \delta (t - t_0) = f(t_0) \delta (t - t_0) \)

  6. \( \displaystyle \delta(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\infty}^{\infty} e^{ipt} dp\)

  7. \( \delta( k t) = \dfrac{1}{|k|} \delta(t) \) for \( k \ne 0 \)


Exemplos com soluções

Exemplo 1
Avalie as integrais:
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \)      b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)      c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \)      d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \)      e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
Solução para o Exemplo 1

a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \)      aplicando a propriedade 1 acima desde \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)

b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \)     aplicando a propriedade 1 acima desde \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)

c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\)      aplicando a propriedade 1 acima desde \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)

d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \)      aplicando a propriedade 2 acima, pois \( - 3 \lt 0 \) ou \( -3 \) está fora do intervalo de integração.

e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \)      aplicando a propriedade 2 acima, pois \( 0 \lt 0^+ \) ou \( 0 \) está fora do intervalo de integração.



Exemplo 2
Avalie as derivadas para:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \)      b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)     
Solução para o Exemplo 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)



Exemplo 3
Use a função degrau \( u(t) \) para escrever equações nos gráficos mostrados abaixo e suas derivadas.
a) graph 1 example 3 step functions b) graph 2 example 3 step functions c) graph 3 example 3 step functions d) graph 4 example 3 step functions
Solução do Exemplo 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \) derivative of graph 1 example 3 step functions
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \) derivative of graph 2 example 3 step functions
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \) derivative of graph 3 example 3 step functions
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\) derivative of graph 4 example 3 step functions



Mais referências e links

Função de etapa Heaviside