시리즈 RLC 회로의 계단 전압 응답에서 개발된 공식은 여기서 사용되었습니다.
다음 공식에서 \( \alpha = \dfrac{R}{2 L} \) 입니다.
입력 전압이 \( V_0 u(t) \) 형태의 전압 계단 함수인 경우, 고려해야 할 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
Case 1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) 일 때 회로는 진동 감쇠 상태입니다.
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) 로 놓을 때,
전류 및 전압은 다음과 같습니다.
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) ) e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
Case 2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) 일 때 회로는 과도 진동 상태입니다.
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) 로 놓을 때,
전류 및 전압은 다음과 같습니다.
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
Case 3: 회로가 임계적으로 진동 감쇠 될 때 \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
전류 및 전압은 다음과 같습니다.
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = V_0 e^{- \alpha t} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)