스텝 전압에 대한 시리즈 RLC 회로 응답

목차

라플라스 변환의 사용을 통해 RLC 회로의 스텝 전압에 대한 응답을 연구합니다. 전류 및 모든 전압에 대한 공식이 개발되고 수치 예제가 자세한 해결과 함께 제시됩니다.
시리즈 RLC 회로의 스텝 응답에 대한 온라인 계산기를 사용하여 수동으로 수행한 계산을 확인할 수 있습니다.

스텝 전압에 대한 시리즈 RLC 회로에서 전류 및 전압에 대한 공식

문제
아래 회로에서 전압 소스 \( v_i = V_0 \; u(t) \) (여기서 \( V_0\)는 상수이고 \( u(t) \)는 단위 계단 함수입니다)가 주어졌을 때, 전류 \( i \)와 캐패시터 \( C \), 인덕터 \( L \), 및 저항 \( R \)을 시간의 함수로 나타내세요. \( t = 0 \)에서 초기 전류는 0입니다.

위의 문제에 대한 해결
전압 법칙인 키르히호프의 법칙을 사용하여 다음을 작성합니다
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
오옴의 법칙인 오옴의 법칙을 사용하여 작성합니다
\( v_R = R \; i \)
캐패시터의 전압 및 충전 전류의 관계
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
인덕터의 전압 및 충전 전류의 관계
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
방정식 (I)에서 \( v_R \), \( v_L \), 및 \( v_C \)를 그들의 표현으로 대체합니다
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
위의 방정식 양쪽에 라플라스 변환을 취합니다
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
라플라스 변환의 선형성 속성을 사용하고 또한 \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \)임을 고려하여 위의 방정식을 다시 작성합니다
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
여기서 \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) 이고 \( V_0 \)는 상수이며 \( u(t) \)는 단위 계단 함수이므로, \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \) 입니다.
\( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \) 라고 하겠습니다.
도함수 및 적분의 속성을 사용하여 다음과 같이 작성합니다 (참조 : 라플라스 변환의 공식 및 속성)
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) 초기 전류가 0이므로 \( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
대체한 후, 위의 방정식은 다음과 같습니다
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
위의 방정식의 모든 항을 \( s \)로 곱하고 단순화합니다
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
\( I(s) \)를 빼내고 위의 방정식을 다시 작성합니다
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
위의 식을 \( I(s) \)에 대해 풀고 다음과 같이 작성합니다
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
분모를 완전 제곱으로 완성합니다
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} \) 로 놓고 위의 식을 다시 작성합니다
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

표현식 \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)의 부호에 따라 3가지 경우를 고려합니다
Case 1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 회로는 저감 진동입니다

\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) 로 놓고 \( I(s) \)를 다음과 같이 다시 작성합니다
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
라플라스 변환의 공식 및 속성을 사용하여 \( I(s) \)의 역 라플라스 변환을 찾습니다
\( t \ge 0 \) 일 때, \( v_i (t) = V_0 \) 이고 다음이 적용됩니다
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

수치 응용 - 예제 1 - 저감 진동 회로
\( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 10 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) 및 \( C = 50 \;\mu F \) 라고 가정합니다
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \ )
따라서 \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; 회로는 저감 진동입니다
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
단순화합니다
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
전압을 다음과 같이 계산할 수 있습니다
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
모든 위의 계산을 확인하려면 시리즈 RLC 회로의 스텝 응답 계산기를 사용할 수 있습니다.

Case 2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 회로는 과감이 감쇠된(damped) 회로입니다

\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) 로 놓고 \( I(s) \)를 다음과 같이 다시 작성합니다
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
라플라스 변환의 공식 및 속성을 사용하여 \( I(s) \)의 역 라플라스 변환을 찾습니다
\( t \ge 0 \) 일 때, \( v_i (t) = V_0 \) 이고 다음이 적용됩니다
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

수치 응용 - 예제 2 - 과감이 감쇠된 회로
\( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 200 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) 그리고 \( C = 50 \;\mu F \) 라고 가정합니다
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
따라서 \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; 회로는 과감이 감쇠된(damped) 회로입니다
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0.01118 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\(\quad \quad = 2.23613 \; \left\{ e^{ - 138.2 t} - e^{ - 361.8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0.617754 e^{ -138.2 t} + 1.617246 e^{ -361.8 t} \)

\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1.61806 e^{ -138.2 t} + 0.61806 e^{-361.8 t} \)
위의 모든 계산을 확인하려면 시리즈 RLC 회로의 스텝 응답 계산기를 사용할 수 있습니다.

Case 3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 회로는 비과감이 감쇠된(critically damped) 회로입니다

\( I(s) \)를 단순화합니다
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
라플라스 변환의 공식 및 속성을 사용하여 \( I(s) \)의 역 라플라스 변환을 찾습니다
\( t \ge 0 \) 일 때, \( v_i (t) = V_0 \) 이고 다음이 적용됩니다
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-at} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

수치 응용 - 예제 3 - 비과감이 감쇠된 회로
\( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 100 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) 그리고 \( C = 160 \;\mu F \) 라고 가정합니다
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
따라서 \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; 회로는 비과감이 감쇠된(critically damped) 회로입니다
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
위의 모든 계산을 확인하려면 시리즈 RLC 회로의 스텝 응답 계산기를 사용할 수 있습니다.

추가 참고 및 링크