Encuentre y grafique los voltajes a través del capacitor \( C \) y el resistor \( R \) y la corriente \( i \) como funciones del tiempo en el circuito a continuación
Fig.1 - Circuito RC en serie de paso bajo
dado que el voltaje de entrada es \( v_i(t) \) una onda cuadrada como se muestra en el gráfico a continuación.
Fig.2 - Onda Cuadrada como Entrada al Circuito RCSolución al Problema
La ecuación, en el dominio \( s \), que relaciona el voltaje \( V_C(s) \) a través del capacitor y el voltaje de entrada \( V_i(s) \) en un circuito RC ya ha sido determinada.
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
Ahora necesitamos determinar la transformada de Laplace \( V_i(s) \) de la onda cuadrada \( v_i(t) \).
Primero expresamos la onda cuadrada como una suma de funciones escalón unitarias desplazadas de la siguiente manera:
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de lo anterior y usamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace para escribir
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
La transformada de Laplace de una función escalón unitario desplazada de la forma \( u(t - \alpha) \) se da por
\[ \dfrac{e^{-\alpha s}}{s} \]
Utilizamos lo anterior para escribir la transformada de Laplace \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i(t) \} \) como
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
Sustituye \( V_i(s) \) en la ecuación (i) por la expresión anterior y resuelve para \( V_C(s) \), colocando todos los términos con \( V_C(s) \) a la derecha.
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
Resuelve para \( V_C(s) \).
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Divide el numerador y el denominador en el término del lado derecho por \( R\;C \) y factoriza \( V_0 \) y reescribe como:
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Sustituye lo anterior en la expresión de \( V_C(s) \) dada en (II) para escribir \( V_C(s) \) como:
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
Lo anterior puede escribirse como:
Ahora utilizamos las fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace \( v_C(t) \) (dominio del tiempo) de \( V_C(s) \).
Necesitamos aplicar la transformación inversa de Laplace para encontrar \( v_C(t) \) a partir de \( V_C(s) \).
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
Los dos términos principales dentro de los corchetes pueden escribirse como
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
La propiedad 2 en las propiedades de la transformada de Laplace puede escribirse como
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) , donde \( f(t) \) es la transformada inversa de Laplace de \( F(s) \)
Ahora utilizamos las fórmulas de la transformada de Laplace para evaluar
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
Utilizando todo lo anterior, ahora escribimos \( v_C(t) \) como
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
Aplicaciones Numéricas
Sea \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) y \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
A continuación se muestran los gráficos de la entrada \(v_i(t) \) como una onda cuadrada definida anteriormente como una suma de funciones de paso desplazadas y el voltaje \( v_C(t) \) a través del capacitor también proporcionado arriba. Hay cuatro gráficos para diferentes valores del período \( T \) de la onda cuadrada de entrada.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - Gráficos de la onda cuadrada de entrada y el voltaje v_C(t) a través del capacitor para un período T = 15 RC
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - Gráficos de la onda cuadrada de entrada y el voltaje v_C(t) a través del capacitor para un período T = 10 RC
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - Gráficos de la onda cuadrada de entrada y el voltaje v_C(t) a través del capacitor para un período T = 5 RC
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - Gráficos de la onda cuadrada de entrada y el voltaje v_C(t) a través del capacitor para un período T = 2 RC
