Respuesta de un Circuito RC a un Voltaje de Escalón

Tabla de Contenidos

Se presenta el uso de transformadas de Laplace para estudiar la respuesta de los circuitos RC a cambios rápidos en el voltaje de entrada y corrientes, en forma de ejemplos con soluciones detalladas. También mostramos cómo modelar matemáticamente los procesos de carga y descarga de un capacitor. Además, se incluye una calculadora en línea para calcular expresiones de voltajes y corriente.

Problemas con Soluciones

Problema 1 Carga de un capacitor
Encuentra y grafica los voltajes a través del capacitor \( C \) y el resistor \( R \), y la corriente \( i \) como funciones del tiempo en el circuito a continuación dado que el voltaje de entrada es \( v_i = V_0 \; u(t) \), donde \( V_0 = 10 \) V es una constante y \( u(t) \) es la función escalón unitaria, con resistencias \( R = 200 \; \Omega \) y \( C = 5 \) mF. En \( t = 0 \), el voltaje a través del capacitor es igual a cero.

Solución al Problema 1
Usa la ley de Kirchhoff de voltajes para escribir
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \)       (I)
Usa la ley de Ohm para escribir
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
La relación entre el voltaje y la corriente de carga de un capacitor está dada por
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
Toma la derivada de ambos lados de la ecuación anterior y reescribe como
\( i (t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
Por lo tanto, la ecuación (I) se puede escribir como
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
Toma la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación anterior
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Usa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace y también el hecho de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescribir lo anterior como
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L} \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \)       (II)
Deja \( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) y \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \)
Usa la propiedad de la derivada con respecto al tiempo \( t \) para reescribir (ver fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace)
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
Dado que en \( t = 0 \), el voltaje a través del capacitor es igual a cero, tenemos \( v_C(0) = 0 \), la ecuación (II) se puede escribir como
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
NOTA que hemos transformado nuestra ecuación diferencial inicial del dominio del tiempo \( t \) al dominio \( s \).
La transformada de Laplace \( V_i(s) \) de \( v_i(t) = V_0 u(t) \) está dada por (ver fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace)
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
La ecuación en el dominio \( s \) se convierte en
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Factoriza \( V_C(s) \) en el lado izquierdo
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
Resuelve para \( V_C(s)\) para obtener
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
Descompone lo anterior en fracciones parciales para reescribir lo anterior como (ver Apéndice A al final de la página para cálculos detallados).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Divide numerador y denominador en el segundo término del lado derecho de la ecuación anterior por \( R\;C \) y factoriza \( V_0 \) para reescribir \( V _C(s) \) como
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Ahora usamos las fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace \( v_C(t) \) (dominio del tiempo) de \( V_C(s) \)
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
y
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Por lo tanto
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) u(t) \)
El voltaje \( v_R(t) \) a través del resistor está dado por
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
La corriente \( i(t) \) está dada por
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Notas: El voltaje \( v_C(t) \) a través del capacitor aumenta con el tiempo según una función exponencial natural \( e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \) y por lo tanto el parámetro \( R\;C \) se llama la constante de tiempo.

Aplicaciones Numéricas
Sea \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) y \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
Las gráficas de la corriente y los voltajes se muestran a continuación.
Observa lo siguiente en \( t = 0 \):
1) Debido a que el capacitor no estaba cargado antes de \( t = 0 \), el voltaje \( v_C(0) \) a través del capacitor es igual a cero y el capacitor se comporta como un cortocircuito en \( t = 0 \). \( v_C(t) \) comienza a aumentar a medida que \( t \) aumenta y esto explica el proceso de carga del capacitor.
2) el voltaje \( v_R (0) \) a través del resistor es igual al voltaje de la fuente \( 10 \) V y comienza a disminuir a medida que \( t \) aumenta.
3) La corriente \( i(0) \) está en su valor máximo \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A y disminuye a medida que \( t \) aumenta.
Observa lo siguiente cuando \( t \) es grande:
\( v_C(t) \) es casi igual a \( v_i(t) \) lo que significa que el capacitor está completamente cargado. La corriente \( i(t) \) es casi cero porque el capacitor se comporta como un circuito abierto .

Problema 2 Descarga de un capacitor
El capacitor \( C \) en el circuito a continuación está inicialmente cargado a \( V_0 = 10 \) voltios. En \( t = 0 \) el interruptor S en el circuito se cierra. Encuentra y grafica los voltajes a través del capacitor \( C \) y del resistor \( R \), y la corriente \( i \) como funciones del tiempo \( t \).

Solución al Problema 2
Usa la ley de Kirchhoff de voltajes para escribir
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \)       (I)
Usa la ley de Ohm para escribir
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
La relación entre el voltaje a través de un capacitor y la corriente a través de él es la siguiente:
Sea \( Q_0 \) la carga inicial del capacitor en \( t=0 \). Dado que el capacitor se está descargando, la carga total disminuirá y se escribe como
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
El voltaje \( v_C(t) \) a través del capacitor está dado por
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
Toma la derivada del lado izquierdo y del lado derecho
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
Usa la linealidad de la derivada para escribir
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{d t } \)
\( Q_0 \) es una constante y su derivada es igual a cero, por lo tanto, lo anterior se simplifica a
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
que se puede escribir como
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \)     NOTA el signo menos se debe al hecho de que el capacitor se está descargando.
Sustituye \( i(t) \) en \( v_R (t) \) arriba para obtener
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
Por lo tanto, la ecuación (I) se puede escribir como
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
Toma la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación anterior
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Usa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace y también el hecho de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescribir lo anterior como
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \)       (II)
Sea \( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \)
Usa la propiedad de la derivada con respecto al tiempo \( t \) para escribir (ver fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace)
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
Dado que en \( t = 0 \), el capacitor está cargado y su voltaje es igual a \( V_0 \), por lo tanto, tenemos \( v_C(0) = V_0 \) ; y sustituyendo en la ecuación (II) obtenemos
\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
Reescribe la ecuación anterior como
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
Resuelve para \( V_C(s)\) para obtener
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
Divide numerador y denominador por \( R \; C \)
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \) está dado por la transformada inversa de Laplace; por lo tanto
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
Ahora usamos las fórmulas y propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada inversa de Laplace \( v_C(t) \) (dominio del tiempo) de \( V_C(s) \)
Hence
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
El voltaje \( v_R(t) \) a través del resistor está dado por
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
La corriente \( i(t) \) está dada por
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Aplicaciones Numéricas: \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) y \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( i(t) = 0.05 \; e^{-t} \) A
Las gráficas de la corriente y los voltajes se muestran a continuación.
Observa lo siguiente en \( t = 0 \):
1) Debido a que el capacitor estaba cargado antes de \( t = 0 \) al voltaje \( v_C(0) = 10 \) voltios, comienza a disminuir a medida que \( t \) aumenta y esto explica el proceso de descarga del capacitor.
2) En \( t = 0 \); \( v_R (0) = v_C(0) = 10\).
3) En \( t = 0\), la corriente \( i(0) \) está en su máximo dado por \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A y comienza a disminuir a medida que \( t \) aumenta.
Observa lo siguiente cuando \( t \) es grande:
En valores grandes de \( t \), todos los voltajes y la corriente son casi iguales a cero porque el capacitor se ha descargado por completo y la energía que estaba almacenada en el capacitor se disipa como calor por el resistor \( R \).

Apéndice

Apéndice A

Expande en fracciones parciales; encuentra \( A \) y \( B \) de manera que
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
Multiplica todos los términos de la ecuación anterior por \( s(R\;C s + 1) \) y simplifica
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \)      (1)
Establece \( s = 0 \) en la ecuación (1) para obtener
\( A = V_0 \)
Establece \( A = V_0 \) y \( s = 1 \) en la ecuación (1)
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
Simplifica y resuelve para \( B \)
\( B = - R\;C V_0 \)
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)

Más Referencias y Enlaces