Se presenta la función de transferencia general de dos circuitos en cascada y se explica su aplicación en diferentes circuitos con ejemplos y sus soluciones.
También se incluyen problemas y sus soluciones. Se incluyen también problemas y sus soluciones .
A - Fórmula de la Función de Transferencia de Dos Circuitos en Cascada
Consideramos los dos circuitos en cascada mostrados a continuación y encontramos la función de transferencia \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) en términos de los cuatro \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \)
Circuitos Generales en Cascada
Utilizamos las leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm para escribir las ecuaciones
\( \qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Ley de corriente de Kirchhoff en el nodo superior
\( \qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)\) Ley de voltaje de Kirchhoff en el lazo cerrado a la izquierda
\( \qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)\) Ley de voltaje de Kirchhoff en el lazo cerrado a la derecha
\( \qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)\) Ley de Ohm para el voltaje a través de \( R_2 \)
Usamos las ecuaciones (II) y (IV) para escribir la función de transferencia \( H( s ) \) de la siguiente manera
\( \qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
Usamos la ecuación (I) para sustituir \( I \) por \( I_1 + I_2 \) en \( H(s)\) anteriormente
\( \qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
Dividimos el numerador y el denominador de lo anterior por \( I_1\), simplificamos y reescribimos como
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V) \)
Usamos la ecuación (III) para obtener
\( \qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
Sustituimos \( \dfrac{I_2}{I_1} \) por lo anterior en \( (IV) \) y reorganizamos para obtener \( H(s) \)
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I) \]
B - Aplicación de la Fórmula de la Función de Transferencia de Dos Circuitos en Cascada
Ahora se muestra cómo se podría utilizar la fórmula anterior en cualquier circuito que pueda identificarse como un circuito de dos cascadas.
Ejemplo 1
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación.
Solución al Ejemplo 1
Comparando el circuito dado con el circuito general anterior, podemos escribir
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = 0 \) y \( Z_4 = L s \)
donde \( s = j \omega \) y \( \omega \) es la frecuencia angular.
Ahora sustituimos las impedancias \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \) en la fórmula general obtenida anteriormente para escribir
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Sustituimos \( s = j \omega \) y escribimos
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Ejemplo 2
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación.
Solución al Ejemplo 2
Comparando el circuito dado con el circuito general anterior, podemos escribir
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) y \( Z_4 = L s \)
donde \( s = j \omega \) y \( \omega \) es la frecuencia angular.
Ahora sustituimos las impedancias \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \) en la fórmula general obtenida anteriormente para escribir
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
Multiplicamos numerador y denominador por \( C s \) y simplificamos
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
Sustituimos \( s = j \omega \) y escribimos
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
Ejemplo 3
Encuentra la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación y gráfica su magnitud y argumento (o fase).
Solución al Ejemplo 3
Usa la fórmula en (I) arriba
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)
Ahora calculamos las impedancias \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \) usando los valores numéricos dados en el circuito en la parte b).
\( \qquad Z_1 = 100 \)
,
\( \qquad Z_2 = 0.1 s \) , \( Z_3 = 200 \) , \( Z_4 = 0.3 s \)
Sustituimos para obtener
\( \qquad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
Simplificamos
\( \qquad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
Sustituimos \( s \) por \( j\; \omega \)
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega } \)
Problemas con Soluciones
Encuentra la función de transferencia en el dominio de la frecuencia para cada circuito a continuación en las partes A y B.
Parte A
Parte B
Soluciones a los Problemas Anteriores
Parte A
Sea \( \qquad s = j \; \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = R_3 \) y \( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
Sustituye \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \) por sus expresiones en la fórmula (I) arriba
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)
Multiplica numerador y denominador por \( (C L s^2 + 1) \) y simplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
Expande y factoriza expresiones en el denominador
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Sustituye \( s \) por \( j \omega \) para obtener
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Parte B
Sea
\( \qquad s = j \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \), \( Z_3 = R_3 \) y \( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
Sustituye \( Z_1, Z_2, Z_3 \) y \( Z_4 \) por sus expresiones en la fórmula (I) arriba
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)
Multiplica el numerador y el denominador por la expresión \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) y simplifica
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) } \)
Expande las expresiones en el denominador
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
Agrupa términos con \( s^2 \) y términos con \( s \) y factoriza
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 )s^2 + (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2)s +R_2R_1R_3 +R_4R_2R_1 } \)
Sustituye \( s = j \omega \) y escribe
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)
