La función de transferencia en el dominio de la frecuencia de los circuitos de corriente alterna se presentan con ejemplos y sus soluciones. También se incluyen problemas y sus soluciones. Problemas y sus soluciones también se incluyen.
Se utilizan las ideas de uso de números complejos en circuitos de corriente alterna y los
cálculos en circuitos RLC en corriente alterna para desarrollar y calcular funciones de transferencia en el dominio de la frecuencia.
Nótese que usualmente expresamos las impedancias usando \( j \omega \). Sin embargo, para expresiones más complicadas de las impedancias, quizás sea más fácil usar \( s = j \omega \) para terminar con expresiones simplificadas.
Se incluye más sobre funciones de transferencia de circuitos en cascada .
A - Comportamiento de Frecuencia de las Impedancias de Capacitores e Inductores
Los capacitores y los inductores se comportan de manera diferente a diferentes frecuencias.
En una frecuencia dada \( \omega \), la impedancia \( X_C\) de un capacitor con capacitancia \( C \) se da por
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \]
y la impedancia \( X_L\) de un inductor con inductancia \( L \) se da por
\[ Z_L = j \; \omega L \]
Tanto \( X_C \) como \( X_L \) son impedancias en formas complejas y el módulo de cada uno se da por
\[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \]
\[ | Z_L | = \omega L \]
Tomemos \( C = 100 \mu \; F \) y \( L = 100 \; m H \) y grafiquemos \( | Z_C | \) y \( | Z_L | \)
Las gráficas de \( | Z_C | \) y \( | Z_L | \) contra la frecuencia angular \( \omega \) se muestran a continuación. La gráfica de \( |Z_C| \) es una hipérbola y la de \( |Z_L| \) es una línea.
Propiedades importantes a tener en cuenta:
1) A medida que la frecuencia es pequeña y cercana a cero, la impedancia \( |Z_C| \) del capacitor es muy grande y la impedancia \( |Z_L| \) del inductor es muy pequeña (cercana a cero).
2) A medida que la frecuencia es grande, la impedancia \( |Z_C| \) del capacitor es muy pequeña (cercana a cero) y la impedancia \( |Z_L| \) del inductor es grande.
3) En general, las impedancias que incluyen combinaciones de resistencias, capacitores e inductores son funciones de la frecuencia y, por lo tanto, los voltajes y corrientes también son funciones de la frecuencia.
Además, cuando una impedancia es grande, podemos asumir que se comporta como un circuito abierto y cuando la impedancia es pequeña, se comporta como un cortocircuito.
Las propiedades anteriores nos ayudan a comprender las propiedades de diferentes circuitos de corriente alterna.
Nótese que si escribimos \( s = j \omega \), las impedancias del capacitor con capacitancia \( C \) pueden escribirse como
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ s \; C} \]
las impedancias del inductor con inductancia \( L \) pueden escribirse como
\[ Z_L = s L \]
Revisión de Números Complejos en Forma Polar
En los números complejos, la unidad imaginaria se define como \( j = \sqrt {-1} \) o \( j^2 = - 1 \)
La forma polar de un número complejo \( Z = a + j b \) se da por
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
donde \( |Z| \) y \( \theta \) son el módulo y argumento , respectivamente, de \( Z \), y se definen como
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) y \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) en el rango \( -\pi \lt \theta \le \pi \)
Una de las principales ventajas de usar números complejos en forma polar en circuitos de corriente alterna es la facilidad para dividir y multiplicar estos números.
Dado dos números complejos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) dados en forma polar como sigue
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) y \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
Producto
El producto de \( Z_1 \) y \( Z_2 \) se da por
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
División
La división de \( Z_1 \) y \( Z_2 \) se da por
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
Potencia
\( Z_1^n \) se da por
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)
B-Función de Transferencia de Voltaje en el Dominio de la Frecuencia
Consideramos el simple divisor de voltaje a continuación y usamos los voltajes e impedancias para expresar el voltaje de salida como
Fig.1 - Divisor de Voltaje
Usando las leyes de Kirchhoff y Ohm extendidas a circuitos de CA donde \( Z_1 \) y \( Z_2 \) son impedancias complejas, obtenemos
\( V_{out} = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} V_{in}\)
donde \( V_{out} \) y \( V_{in} \) son la forma compleja de los voltajes \( v_{out} \) y \( v_{in} \).
En general \( Z_1 \) y \( Z_2 \) dependen de la frecuencia \( \omega \) de la fuente de voltaje \( v_i \) y la relación \( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) se llama la función de transferencia de voltaje en el dominio de la frecuencia.
En el ejemplo anterior \( H(\omega) \) se da por
\( H(\omega) = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} \)
La función de transferencia \( H \) es una función de \( \omega \) porque en general las impedancias son funciones de la frecuencia de la fuente de voltaje (o corriente) como se ve arriba.
Ejemplo 1
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación y grafíquela en magnitud y argumento (o fase).
Solución al Ejemplo 1
Usando las fórmulas de impedancias en circuitos de CA ,
en el circuito RC de abajo, el voltaje de salida (en forma compleja) \( V_{out} \) se da por
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
Simplifique lo anterior y escriba la función de transferencia de voltaje \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) en el dominio de la frecuencia como sigue
\( H(\omega) \) es una función de transferencia en el dominio de la frecuencia ya que proporciona una relación entre la salida y la entrada y depende de la frecuencia \( \omega \).
La función de transferencia en el dominio de la frecuencia es un número complejo y se puede escribir en forma polar que fue revisado arriba.
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
donde \( | H(\omega) | \) es el módulo (magnitud) de \( H(\omega) \) y \( \phi(\omega) \) es el argumento (fase) de \( H(\omega) \).
El denominador de \( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \) obtenido arriba, se puede escribir en forma polar como
\( 1 = 1 \angle 0 \)
y el denominador se puede escribir como
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
Por lo tanto, usando la división de números complejos en forma polar : \( \dfrac{|z_1| \angle \phi_1 }{|z_2| \angle \phi_2 } = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \angle (\phi_1 - \phi_2) \) , escribimos \( H(\omega) \) como sigue
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
Use los valores numéricos de la capacitancia y la inductancia dados arriba, evalúe \( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\)
Por lo tanto
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)
El gráfico de la magnitud de la función de transferencia dada por la expresión \( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \) contra la frecuencia omega se muestra a continuación.
El gráfico de la fase de la función de transferencia dada por la expresión \( - \arctan(0.02 \; \omega) \) ( y convertida en grados) contra la frecuencia omega se muestra a continuación.
Ejemplo 2
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación y grafíquela en magnitud y argumento (o fase).
Solución al Ejemplo 2
Usando las fórmulas de impedancias en circuitos de CA ,
en el circuito RC de abajo, el voltaje de salida (en forma compleja) \( V_{out} \) se da por
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)
Multiplique el numerador y el denominador por \( j \; \omega \; C \) y simplifique para obtener la función de transferencia de voltaje \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) en la frecuencia como
\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)
La función de transferencia en el dominio de la frecuencia se puede escribir en forma polar como
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
La magnitud \( | H(\omega) | \) de \( H(\omega) \) se da por
\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)
La fase \( \phi(\omega) \) de \( H(\omega) \) se da por
\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
Los gráficos de \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) y la fase \( \phi(\omega) \) se muestran a continuación.
Ejemplo 3
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia del circuito a continuación y grafíquela en magnitud y argumento (o fase).
Solución al Ejemplo 3
Para facilitar la manipulación de las expresiones, definamos
\[ s = j \omega \]
y expresemos las impedancias de los capacitores \( C_1 \) y \( C_2 \) en términos de \( s \) de la siguiente manera
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
y
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Ahora usamos la ley de corriente y voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm para escribir las ecuaciones
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Ley de corriente de Kirchhoff en el nodo superior
\( V_{in} = R_1 I + Z_{c_1} I_1 \qquad (II)\) Ley de voltaje de Kirchhoff en el lazo cerrado a la izquierda
\( Z_{c_1} I_1 = (Z_{c_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\) Ley de voltaje de Kirchhoff en el lazo cerrado a la derecha
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\) Ley de Ohm para el voltaje a través de \( R_2 \)
Usamos las ecuaciones (II) y (IV) para escribir la función de transferencia \( H(\omega ) \) de la siguiente manera
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{c_1} I_1} \)
Usamos la ecuación (I) para sustituir \( I \) por \( I_1 + I_2 \) en \( H(\omega)\) arriba
\( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 ( I_1 + I_2) + Z_{c_1} I_1} \)
Dividimos el numerador y el denominador de lo anterior por \( I_2 \), simplificamos y reescribimos como
\( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{c_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
Usamos la ecuación (III) para obtener
\( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \)
Sustituimos \( \dfrac{I_1}{I_2} \) por \( \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \) en \( (IV) \) y reorganizamos para obtener \( H(\omega) \)
\( \phi(\omega) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan \left(\dfrac{320 \; \omega}{-\omega^2 + 8000} \right) \)
Los gráficos de \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) y la fase \( \phi(\omega) \) se muestran a continuación.
Problemas con Soluciones
Encuentre la función de transferencia en el dominio de la frecuencia para cada circuito a continuación en las partes A y B.
Parte A
Parte B
Parte C
Aplique la fórmula de dos circuitos en cascada para encontrar la función de transferencia, en el dominio de la frecuencia, del circuito mostrado a continuación.
Soluciones a los Problemas Anteriores
Parte A
Sea \( s = j \; \omega \)
, \( Z_C = \dfrac{1}{C \; s} \) la impedancia del capacitor \( C \) y \( Z_L = L \; s \) la impedancia del inductor \( L \).
La impedancia \( Z \) equivalente a \( Z_C \) en paralelo con \( Z_L \) se da por
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
lo cual puede escribirse como
\( Z = \dfrac{Z_C \; Z_L}{ Z_C + Z_L } \)
El voltaje \( V_{out} \) se da por
\( V_{out} = \dfrac { V_{in}}{ Z + R } R \)
La función de transferencia se da por
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R} \)
Calcule \( Z \) en términos de \( C \) y \( L \).
\( Z = \dfrac{ \dfrac{1}{C \; s} \; L \; s }{ \dfrac{1}{C \; s} + L \; s } = \dfrac{L \; s}{ 1 + L \; C \; s^2} \)
Sustituya \( Z \) por su expresión anterior en \( H(\omega) \) para obtener
\( H(s) = \dfrac{R (1 + L \; C \; s^2)}{L \; s + R \; (1 + L \; C \; s^2)} \\\\
\quad = \dfrac{R\;L\;C \; s^2 + R}{R\;L\;C s^2 + L\;S + R}
\)
Sustituya \( s = j \omega \) para obtener
\[ H(\omega) = \dfrac{R\;L\;C \; \omega^2 + R}{-R\;L\;C \; \omega^2 + R + j \; \omega L } \]
Parte B
Sea
\[ s = j \omega \]
y exprese las impedancias de los capacitores \( C_1 \) y \( C_2 \) como sigue
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
y
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Use las leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm para escribir 4 ecuaciones de manera muy similar a como se hizo en el ejemplo 3 anterior y resolver para obtener la función de transferencia.
\( H(s) = \dfrac{R_1 \; C_1 \; s }{(R_1 \; C_1 \; s + 1)(R_2 \; C_2 \; s + 1) + R_1 \; C_2 \; s } \qquad (I) \)
\( R_1 \; C_2 = 2 \cdot 10^3 \times 200 \cdot 10^{-6} = \dfrac{2}{5} \)
Sustituya \( R_1 \; C_1 \) y \( R_2 \; C_2 \) por sus valores numéricos, expanda el denominador y sustituya \( s \) por \( j \; \omega \) en (I) anteriormente para obtener la función de transferencia en los dominios \( s \) y de la frecuencia.
\( H(s) = \dfrac{ 5 s }{ 3 s^2 + 30 s + 25 } \)
