La función de error \( \text{Erf} \; (x) \) está definida por la integral [4]
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \]
Los programas informáticos, en diferentes lenguajes, pueden desarrollarse fácilmente para calcular \( \text{Erf} \; (x) \).
Se presenta una tabla de valores de \( \text{Erf} (x) \) en el intervalo \( x \in [-3 \; , \; 3] \) que fue creada usando Google Sheets junto con su gráfico. (puede que necesite desplazarse hacia abajo).
Desde la definición y el gráfico, podemos decir que \( \text{Erf} \; (x) \) es una función impar y por lo tanto
La función de densidad normal de una variable aleatoria \( X \) con media \( \mu \) y desviación estándar \( \sigma \) está dada por [1] [2] [3] [4].
\[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x -\mu}{\sigma} \right)^2 } \qquad (I) \]
cuya gráfica se muestra a continuación.
Ahora desarrollamos la relación entre la función de distribución acumulada para una distribución normal definida arriba y dada por
\[ F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{t -\mu}{\sigma} \right)^2 } dt \qquad (III) \]
y la función de error definida por
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \qquad (IV) \]
Sea \( z = \dfrac{t-\mu}{\sigma \sqrt 2} \) y por lo tanto \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} \) o \( dz = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} dt \)
Substituimos lo anterior en \( (III) \) y escribimos
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{-\infty}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \]
Dividimos el intervalo de integración y escribimos \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) como sigue
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{-\infty}^{0} \; e^{-z^2 } dz + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Ahora usamos la integral gaussiana Integral Gaussiana que está dada por
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]
y porque \( e^{-x^2} \) es una función par, tenemos
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \]
Usamos la integral gaussiana para escribir
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt {\pi}}{2}\]
Substituimos en \( \qquad (V) \) y escribimos
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Usando \( (IV) \) , escribimos \( \displaystyle \int_0^{\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right)} \; e^{-t^2} \; dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \) que substituimos en \( (V) \) arriba para escribir
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right) \qquad (V) \]
Simplificamos y escribimos la relación entre \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) y \( \text{Erf} \; (x) \) como sigue:
\[ \boxed {\displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 } \left( 1 + \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right)} \]
Por lo tanto, la función de distribución acumulada normal \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) puede ser calculada usando la función de error \( \text{Erf} (x) \).