Se presenta una calculadora interactiva para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes.
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes \( a \), \( b \) y \( c \) tiene la forma general [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
Para resolver esta ecuación diferencial usando la ecuación auxiliar (o ecuación característica), primero encontramos las raíces de la ecuación auxiliar, que se obtiene asumiendo una solución de la forma \( y(t) = e^{rt} \), por lo tanto, \( y'(t) = r e^{rt} \) y \( y''(t) = r^2 e^{rt} \).
Sustituyendo \( y(t) \), \( y'(t)\) y \( y''(t) \) en la ecuación diferencial y factorizando como sigue:
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
Dado que \( e^{rt} \) no puede ser igual a cero, terminamos con la ecuación auxiliar correspondiente a la ecuación diferencial como:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. Escribe la ecuación auxiliar:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
La naturaleza de las raíces de la ecuación auxiliar determina el comportamiento de las soluciones:
Sea \( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - Si \( \Delta > 0 \) , las raíces
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) y \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
son reales y distintas. La solución general involucra funciones exponenciales como sigue.
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes a determinar usando condiciones iniciales.
2 - Si \( \Delta = 0 \) , las raíces \( r_1 \) y \( r_2 \) son reales e iguales a \( -\dfrac{b}{2 \; a} \). La solución general involucra una función lineal en \( t \) multiplicada por una función exponencial.
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
y \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes determinadas por condiciones iniciales o de contorno.
3 - Si \( \Delta \lt 0 \) , las raíces \( r_1 \) y \( r_2 \) son conjugadas complejas de la forma
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) y \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
La solución general de la ecuación diferencial involucra funciones seno y coseno como sigue.
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
donde
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) y \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
y \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes determinadas por condiciones iniciales o de contorno.
Introduce los coeficientes \( a, b , c \) y las condiciones iniciales \( y(0) \) y \( y'(0) \) como números reales y presiona "Resolver".
Solución