Derivadas Parciales de Segundo y Mayor Orden

Tabla de Contenidos

Se presentan cálculos de las derivadas parciales de primer, segundo y mayor orden con ejemplos y sus soluciones, incluyendo pasos detallados de los cálculos. Se verifica el teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones de continuidad a través de ejemplos.
Las derivadas parciales de segundo y mayor orden son esencialmente las derivadas de funciones de varias variables tomadas múltiples veces con respecto a una o más variables.

Derivadas Parciales de Primer Orden

Dada una función \(f(x, y)\), las derivadas parciales de primer orden son:
Con respecto a \(x\): \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
Con respecto a \(y\): \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)

Derivadas Parciales de Segundo Orden

Una vez que tenemos las derivadas de primer orden, podemos diferenciarlas nuevamente para obtener las derivadas de segundo orden, que son:
Con respecto a \(x\) dos veces: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
Con respecto a \(y\) dos veces: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
Con respecto a \(x\) y luego \(y\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
Con respecto a \(y\) y luego \(x\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)

Derivadas Parciales de Mayor Orden

De manera similar, podemos continuar tomando derivadas para obtener derivadas parciales de mayor orden. Por ejemplo, la derivada parcial de tercer orden de \(f\) con respecto a \(x\) dos veces y luego \(y\) una vez se denota como \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\).

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de \[f(x, y) = x^2y + 3xy^2\]

Solución del Ejemplo 1 con Pasos Detallados

1. Derivadas Parciales de Primer Orden
a. Diferenciar \(f\) con respecto a \(x\): \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \] b. Diferenciar \(f\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \] 2. Derivadas Parciales de Segundo Orden
a. Diferenciar \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) con respecto a \(x\): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \] b. Diferenciar \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \] c. Diferenciar \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \] d. Diferenciar \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) con respecto a \(x\) (debería dar el mismo resultado que el paso 3 debido a la simetría, si las derivadas parciales mixtas de la función son continuas): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \] Observa que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), lo que ilustra el teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones de continuidad.

Ejemplo 2

Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función \[g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2 \].

Solución del Ejemplo 2 con Pasos Detallados

1. Derivadas Parciales de Primer Orden
a. Diferenciar \(g\) con respecto a \(x\): \[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \] b. Diferenciar \(g\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \] 2. Derivadas Parciales de Segundo Orden
a. Diferenciar \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) con respecto a \(x\): \[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \] Este paso implica aplicar la regla del producto para la diferenciación de ambos términos por separado.
b. Diferenciar \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \] Nuevamente, se aplica la regla del producto, esta vez enfocándose en cómo cambian el término exponencial y el término del seno con respecto a \(y\).
c. Diferenciar \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \] d. Diferenciar \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) con respecto a \(x\) (nuevamente, el resultado es el mismo que en el paso 3 debido a la simetría y la continuidad de las derivadas parciales mixtas): \[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \] La igualdad \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) ilustra el teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones de continuidad.

Ejemplo 3

Calcular las derivadas parciales de primer, segundo y dos derivadas parciales de tercer orden \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \) y \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \) de la función \( f \) definida por \[ f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y \].

Solución del Ejemplo 3 con Pasos Detallados

1. Derivadas Parciales de Primer Orden
a. Con respecto a \(x\): \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \] b. Con respecto a \(y\): \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \] 2. Derivadas Parciales de Segundo Orden
a. Con respecto a \(x\) dos veces: \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \] b. Con respecto a \(y\) dos veces: \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \] c. Con respecto a \(x\) luego \(y\): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \] d. Con respecto a \(y\) luego \(x\): \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \] En este ejemplo también tenemos la igualdad \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), lo que ilustra el teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones de continuidad.
3. Derivadas Parciales de Tercer Orden
a. Con respecto a \(x\) dos veces, luego \(y\): \[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \] b. Con respecto a \(x\), luego \(y\), luego \(x\) otra vez: \[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]

Teorema de Clairaut

El teorema de Clairaut, también conocido como la igualdad de las derivadas parciales mixtas, establece que si una función \( f(x, y) \) tiene derivadas parciales segundas continuas en una región abierta que contiene un punto \( (a, b) \), entonces el orden de diferenciación de las derivadas parciales mixtas en ese punto no afecta el resultado. En otras palabras: \[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \] Aquí hay un ejemplo simple que ilustra el teorema de Clairaut:
Considera la función \( f(x, y) = x^2y + y^3 \).
Primero, encontremos las derivadas parciales mixtas:
1. Encuentra \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \): \[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \] 2. Encuentra \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \): \[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \] Ahora, vamos a encontrar las derivadas parciales mixtas:
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \): \[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \] 2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \): \[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \] Según el teorema de Clairaut, dado que ambas derivadas parciales mixtas son continuas e iguales, tenemos \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \).

Más Enlaces y Referencias

Derivadas Parciales de Funciones Multivariables
Funciones de Muchas Variables