Derivadas Parciales de Funciones Multivariables
Tabla de Contenidos
Se presentan ejemplos y ejercicios sobre los cálculos de derivadas parciales.
Mientras que las derivadas ordinarias tratan con funciones de una sola variable, las derivadas parciales son un tipo de derivada que generaliza el concepto de derivadas ordinarias a funciones multivariables.
Formalmente, la derivada parcial de una función \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) con respecto a una de sus variables, digamos \( x_i \), se denota por \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \). Representa la tasa de cambio de la función \( f \) con respecto a la variable \( x_i \), manteniendo constantes todas las demás variables.
Matemáticamente, la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x_i \) se define como:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \]
En palabras, esta definición dice que la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x_i \) es el límite del cociente de diferencias cuando \( h \) tiende a cero, donde \( h \) representa un pequeño cambio en la variable \( x_i \), manteniendo constantes todas las demás variables.
Las derivadas parciales nos permiten analizar cómo cambia una función con respecto a una de sus variables manteniendo las demás fijas.
Al calcular la derivada parcial de una función \( f(x, y) \) con respecto a \( x \), denotada como \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), tratamos \( y \) como una constante.
De manera similar, al calcular la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \), denotada como \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), tratamos \( x \) como una constante. Solo consideramos cómo cambia \( f \) con respecto a variaciones en \( y \), manteniendo \( x \) constante.
Las derivadas parciales se utilizan extensamente en cálculo, ecuaciones diferenciales, optimización y diversos campos de la ciencia y la ingeniería, incluyendo física, economía e ingeniería. Juegan un papel crucial en el estudio del cálculo multivariable y el análisis de sistemas con múltiples variables independientes.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Calcula las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \), denotada por \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), y las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( y \), denotada por \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), donde \( f \) está dada por
\[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].
Solución al Ejemplo 1
1. Derivada de \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) con respecto a \( x \):
Calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \), denotada como \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Usando la regla de la suma, escribimos
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \]
NOTA que al calcular la derivada parcial de una función \( f(x, y) \) con respecto a \( x \), tratamos \( y \) como una constante.
Usando la regla de la potencia para la diferenciación, tenemos:
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\]
Por lo tanto,
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].
2. Derivada de \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) con respecto a \( y \):
Calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \), denotada como \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Usando la regla de la suma, escribimos
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \]
NOTA que al calcular la derivada parcial de una función \( f(x, y) \) con respecto a \( y \), tratamos \( x \) como una constante.
Usando la regla del producto para la diferenciación, tenemos:
\[\dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) = 4x\]
\[\dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = -2y\]
Por lo tanto,
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - (-2y)\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x + 2y \].
Ejemplo 2
Calcula las derivadas parciales de \( g \) con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \), donde \( g \) está dada por
\[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].
Solución al Ejemplo 2
1. Derivada parcial con respecto a \( x \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Usando la regla del producto para la diferenciación:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right)
\]
Ahora, calculamos cada término por separado:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Por lo tanto:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
2. Derivada parcial con respecto a \( y \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Usando la regla del producto para la diferenciación:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right)
\]
Ahora, calculamos cada término por separado:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Por lo tanto:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
3. Derivada parcial con respecto a \( z \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Usando la regla del producto para la diferenciación:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right)
\]
Ahora, calculamos cada término por separado:
a. Derivada de \( e^{xy} \) con respecto a \( z \):
Dado que \( e^{xy} \) no depende de \( z \), su derivada con respecto a \( z \) es cero:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0
\]
b. Derivada de \( \cos(z) \) con respecto a \( z \):
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z)
\]
Por lo tanto:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Por lo tanto, las derivadas parciales de \( g \) con respecto a \( x \), \( y \), y \( z \) son:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Ejercicios con Soluciones
Encuentra las derivadas parciales de las funciones
- \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
- \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
- \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
-
\[ \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\]
\[ \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\]
-
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \]
-
\[ \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \]
\[ \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \]
\[ \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \]
Más Enlaces y Referencias
Funciones de Muchas Variables
Derivadas Parciales de Segundo y Mayor Orden