Introducción a Ecuaciones Diferenciales
Tabla de Contenidos
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y su derivada [1] , [2] , [3] .
Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar sistemas y otros comportamientos en diversos campos de la ciencia, ingeniería y matemáticas.
Orden de una Ecuación Diferencial
La derivada de mayor orden incluida en la ecuación diferencial determina el orden de la ecuación.
Ejemplos
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
es de primer orden porque la derivada de mayor orden incluida es la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) de \( y \).
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
es de tercer orden porque la derivada de mayor orden incluida es la tercera derivada \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) de \( y \).
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
es de segundo orden porque la derivada de mayor orden incluida es la segunda derivada \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) de \( y \).
Linealidad en una Ecuación Diferencial
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su linealidad.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Si el mayor exponente de la función desconocida y sus derivadas es igual a 1 y la función y sus derivadas no se multiplican entre sí, entonces la ecuación diferencial se dice que es lineal. La forma general de una ecuación diferencial lineal se puede expresar como:
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
Aquí, \( a_i(x) \) son funciones de \( x \), \( y \) es la función desconocida y \( g(x) \) es una función conocida de \( x \).
Ejemplos
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
es lineal porque la función desconocida \( y \) y su segunda derivada \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) no se elevan a un poder mayor que 1 ni se multiplican entre sí.
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
es lineal porque la función desconocida \( y \), su segunda derivada \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) y su primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) no se elevan a un poder mayor que 1 ni se multiplican entre sí.
Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Si la función desconocida o al menos una de sus derivadas se eleva a un poder mayor que 1 o se multiplican entre sí, la ecuación diferencial se dice que es no lineal. Las ecuaciones diferenciales que involucran funciones no lineales como raíz cuadrada, logarítmica, exponencial, trigonométrica u otras funciones no lineales de la función desconocida o sus derivadas también son no lineales.
Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden tener comportamientos complejos y pueden ser desafiantes de resolver.
Ejemplos
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
no es lineal porque \( y \) aparece elevado al poder 2.
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
no es lineal porque \( y \) aparece en los términos no lineales \( e^{y} \).
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
no es lineal porque \( y \) aparece dentro de una función trigonométrica \( \sin(y) \) que es una función no lineal.
Más Referencias y enlaces
1 - Cálculo Universitario - Joel Hass, Maurice
D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Cálculo - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Cálculo - Transcendental Temprano - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Calculadora de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden