Se presenta una calculadora interactiva que utiliza el método de Newton [1] para aproximar las soluciones de un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Aproxima las soluciones, si las hay, y proporciona una tabla con todos los valores de las iteraciones con fines educativos.
El método de Newton es un método numérico utilizado para encontrar las raíces de una ecuación mediante iteraciones a partir de una solución inicial aproximada. Cuando se trata de un sistema de ecuaciones, el método se extiende de manera natural considerando la matriz Jacobiana y su determinante.
Supongamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación:
\[ f(x) = 0 \]La expansión de Taylor de \( f(x+\Delta x) \) está dada por:
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]Ahora resolvemos \( f(x+\Delta x) = 0 \), lo cual da:
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]Lo que da:
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]Supongamos que conocemos un valor aproximado \( x_n \) de la raíz de la ecuación, la raíz aproximada \( x_{n+1} \) definida por:
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]Está dada por:
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables \( x \) y \( y \):
\[ \begin{align*} f(x, y) &= 0 \\ g(x, y) &= 0 \end{align*} \]La matriz Jacobiana \( J \) del sistema está dada por:
\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} \]Las fórmulas de actualización del método de Newton para un sistema de ecuaciones están dadas por:
\[ \begin{aligned} \Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\ \Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}} \end{aligned} \]Por lo tanto:
\[ \begin{aligned} x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\ y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}} \end{aligned} \]
Donde \( f \) y \( g \) son las funciones evaluadas en los valores actuales \( (x_n, y_n) \).
\( f_x, f_y, g_x, g_y \) son las derivadas parciales de \( f \) y \( g \) con respecto a \( x \) y \( y \), respectivamente.
\(\text{D} = f_x \cdot g_y - f_y \cdot g_x\) es el determinante de la matriz Jacobiana.
El método de Newton actualiza iterativamente las variables \( x \) y \( y \) utilizando las fórmulas anteriores hasta que se cumple un criterio de detención. Los criterios de detención comunes incluyen:
Tolerancia de convergencia: Detenerse cuando la diferencia entre iteraciones consecutivas es inferior a un cierto umbral.
Iteraciones máximas: Detenerse después de alcanzar un número máximo de iteraciones.
1. Inicialización: Comienza con suposiciones iniciales para \( x \) y \( y \): Una forma de obtener suposiciones iniciales cercanas a la solución del sistema es graficar \( f(x,y) \) y \( g(x,y) \), aproximar sus puntos de intersección y utilizarlos como suposiciones iniciales.
2. Evaluar Funciones y Derivadas: Calcular \( f(x, y) \), \( g(x, y) \), y sus derivadas parciales en los valores actuales \( (x, y) \).
3. Calcular Determinante: Calcular el determinante de la matriz Jacobiana.
4. Actualizar Variables: Usar las fórmulas de actualización del método de Newton para calcular \( \Delta x \) y \( \Delta y \).
5. Iterar: Actualizar \( x \) y \( y \) utilizando \( \Delta x \) y \( \Delta y \), y repetir hasta que se alcance la convergencia o se llegue al número máximo de iteraciones.
6. La tolerancia \( \epsilon \) se utiliza para probar el valor absoluto de \( f(x,y) \) y \( g(x,y) \) como sigue:
Cuando \( |f(x,y)| \lt \epsilon \) y \( |g(x,y)| \lt \epsilon \), el proceso de iteración se detiene.
7. La calculadora aproxima una solución a la vez.
El método de Newton proporciona una forma robusta y eficiente de aproximar las soluciones de un sistema de ecuaciones en dos variables, siempre que las suposiciones iniciales estén lo suficientemente cerca de las soluciones reales y las funciones sean diferenciables en el vecindario de las soluciones.
| Iteración | \( x \) | \( y \) | \( f(x, y) \) | \( g(x, y) \) |
|---|