Fórmula de Euler

Derivación de la Fórmula de Euler

La derivación de la fórmula de Euler involucra conceptos de cálculo, series de potencias y números complejos. Considera las series de potencias de la función exponencial \( e^x \), la función coseno \( \cos(x) \) y la función seno \( \sin(x) \). Las expansiones en series de potencias para estas funciones son: \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \] \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \] Ahora, considera lo que sucede cuando sustituimos \( ix \) en las expansiones de la serie de \( e^x \): \[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \] \[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \] Escribe \( e^{ix} \) como un número complejo de la forma estándar \( Re + i Im \): \[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \] Observa que los términos de potencia par \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) forman la expansión en serie de \( \cos(x) \), y los términos de potencia impar \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) forman la expansión en serie de \( \sin(x) \). Así, combinándolos, podemos escribir: \[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]

Identidades y Fórmulas Relacionadas con la Fórmula de Euler

Identidad de Euler

Cuando \( x = \pi \), la fórmula de Euler se convierte en: \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] Lo que puede escribirse como \[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \] Observa que la ecuación anterior combina las cinco constantes más importantes en matemáticas: \( e \), \( \pi \), \( i \), \( 1 \), y \( 0 \).

Fórmula de De Moivre

La extensión de la fórmula de Euler para cualquier potencia entera \( n \): \[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \] Usando la regla exponencial: \[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \] De ahí la fórmula de De Moivre: \[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \] Esta fórmula es increíblemente útil para calcular potencias de números complejos.

Fórmula de Euler para \( \sin \) y \( \cos \)

Comienza con las expansiones de \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \] y \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \] Sumando y restando los lados izquierdo y derecho, obtenemos: \[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \] y \[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \] Resuelve para \( \cos(x) \) y \( \sin(x) \) para obtener: \[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \] \[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \] Estas identidades relacionan las funciones trigonométricas \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) con la función exponencial \( e^{ix} \). Estas identidades tienen aplicaciones en varios campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Proporcionan profundos conocimientos sobre las conexiones entre el crecimiento exponencial, el movimiento periódico y los números complejos.

Identidades Trigonométricas y la Fórmula de Euler

Presentamos un ejemplo de cómo usar la fórmula de Euler para probar identidades trigonométricas.

Ejemplo

Prueba la identidad trigonométrica \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

Solución

Usa la identidad \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \) para escribir \[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\] Usa la propiedad exponencial \( e^{x+y} = e^x e^y \) para reescribir \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) como: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \] Ahora usamos la fórmula de Euler para expandir los términos en el lado derecho: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\] Usa las identidades \( \cos (-A) = \cos A \) y \( \sin(-A) = - \sin A \) para reescribir lo anterior como: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \] Expande el lado derecho y simplifica: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \ cos A \sin B \] Sustituye en (I) anterior para obtener: \[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \] Simplifica para obtener la conocida fórmula trigonométrica: \[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]