Cálculos de Integrales Dobles

Se presentan ejemplos para calcular y evaluar integrales dobles junto con sus soluciones detalladas. Integrales dobles sobre regiones generales e integrales dobles en coordenadas polares también están incluidas. \( \)\( \)\( \)

Revisión de Integrales Simples y Dobles

Las integrales simples se utilizan para encontrar el área bajo la curva de una función dada \( f(x) \) como se muestra en el gráfico a continuación.
El área bajo la curva desde \( x = a \) hasta \( x = b \) se da por: \( \displaystyle \int_a^b f(x) \; dx \)

Para formas tridimensionales, estamos interesados en calcular el volumen bajo la superficie definida por una función en dos variables \( f(x,y) \) y cuya base es \( R \) (verde) como se muestra en el gráfico a) a continuación.

En el gráfico mostrado arriba, la base \( R \) de la forma 3D es un rectángulo definido por \( 0 \le x \le a \) y \( 0 \le y \le b \); pero en general \( R \) puede tener cualquier forma 2D como veremos en más ejemplos.
Hay dos formas de calcular el volumen de la forma 3D.
1)
dividir la forma 3D en un número infinito de áreas transversales \( A_1(x) \) perpendiculares al eje \( x \) en valores fijos de \( x \), como se muestra en el gráfico b), y luego usar el concepto de una integral simple que es básicamente una suma continua para encontrar el volumen \( V \) como
\( \displaystyle V = \int_0^a A_1(x) \; dx \)
El área transversal \( A_1(x) \) es paralela al plano z-y y se puede encontrar mediante la integración de \( f(x,y) \) sobre \( y \) como se usaría una integral simple para encontrar el área bajo una curva, como sigue
\( \displaystyle A_1(x) = \int_0^b f(x,y) \; dy \)
Ahora sustituimos \( A_1(x) \) en \( V \) para obtener
\( \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \)

2)
dividir la forma 3D en un número infinito de áreas transversales \( A_2(y) \) perpendiculares al eje \( y \) en valores fijos de \( y \), como se muestra en el gráfico c), y luego usar el concepto de una integral simple que es básicamente una suma continua para encontrar el volumen \( V \) como
\( V = \displaystyle \int_0^b A_2(y) \; dy \)
El área transversal \( A_2(y) \) es paralela al plano z-x y se puede encontrar mediante la integración de \( f(x,y) \) sobre \( x \) como se usaría una integral simple para encontrar el área bajo una curva, como sigue
\( \displaystyle A_2(y) = \int_0^a f(x,y) \; dx \)
Ahora sustituimos \( A_2(x) \) en \( V \) para obtener
\( \displaystyle V = \int_0^b \int_0^a f(x,y)\; dx \; dy \)
Lo anterior se resume como el Teorema de Fubini
\[ \iint_R f(x,y) \,dx\,dy = \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \] La región R es un rectángulo definido por: \( 0 \le x \le a \) y \( 0 \le y \le b \)
Las integrales anteriores se llaman integrales iteradas.
Se pueden usar todas las fórmulas y reglas para integrales para calcular estas integrales.

Cálculos de Integrales Simples con Integrandos que Tienen Más de una Variable

Antes de comenzar con ejemplos para calcular integrales dobles, veamos primero cómo evaluar integrales cuando el integrando tiene más de una variable, ya que esta es la habilidad básica necesaria para evaluar integrales dobles y triples.
Ejemplo 1
Evaluar las integrales
a) \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) , b) \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) , c) \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx \) , d) \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)
Solución del Ejemplo 1
a)
Para calcular \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \), consideramos \( y \) como una constante ya que la integración es respecto a \( x \).
Observa que \( \displaystyle \int (x^2) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3\) y \( \displaystyle \int ( y^2) \; dx = y^2 x\) ya que \( y \) y por lo tanto \( y^2 \) se consideran constantes. Por lo tanto,
\( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 + y^2 x \right]_0^3 \)
Sustituye para evaluar la integral
\( = (\dfrac{1}{3}(3)^3 + y^2 (3)) - (\dfrac{1}{3}(0)^3 + y^2 (0)) \)
Simplifica
\( = 3 y^2 + 9 \)
b)
Para calcular \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \), consideramos \( x \) como una constante ya que la integración es respecto a \( y \).
Observa que \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \; dy = \dfrac{1}{x} y \) ya que \( x \) y por lo tanto \( 1/x \) se consideran constantes y \( \displaystyle \int \dfrac{1}{y} \; dy = \ln |y|\). Por lo tanto,
\( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy = \left[ \dfrac{1}{x} y + \ln |y| \right]_3^5 \)
Sustituye para evaluar la integral
\( = ( \dfrac{1}{x} (5) + \ln|5|) - ( \dfrac{1}{x} (3) + \ln|3| ) \)
Simplifica
\( = \dfrac{2}{x} + \ln(5/3) \)
c)
Para calcular \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx\), consideramos \( y \) como una constante ya que la integración es respecto a \( x \).
Observa que \( \displaystyle \int x y \; dx = \dfrac{1}{2} x^2 y \) y \( \displaystyle \int y \; dx = y x \) ya que \( y \) se considera constante. Por lo tanto,
\( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y ) \; dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^2 y + y x \right]_{y+1}^{y^2} \)
Sustituye para evaluar la integral notando que los límites de integración son funciones de \( y \)
\( = ( \dfrac{1}{2} (y^2)^2 y + y (y^2) ) - ( \dfrac{1}{2} (y+1)^2 y + y (y+1) ) \)
Simplifica
\( = \dfrac{y^5+y^3-4y^2-3y}{2} \)
d)
Para calcular \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \), consideramos \( x \) como una constante ya que la integración es respecto a \( y \).
Observa que \( \displaystyle \int \sin( x y) \; dy = - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \) ya que \( x \) se considera constante. Por lo tanto,
\( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy = \left[ - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \right]_0^{x-1} \)
Sustituye para evaluar la integral notando que los límites de integración son funciones de \( x \)
\( = ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(x-1)) ) - ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(0)) ) \)
Simplifica
\( = - \dfrac{1}{x} \cos(x^2 - x) + 1/x\)

Cálculos de Integrales Dobles

La idea principal en el cálculo de integrales dobles es dividir la integral doble en dos integrales simples. Hay dos formas de evaluar integrales dobles:
1) Evaluar primero la integral en \( x \):
\( \displaystyle \int_0^b \int_0^a f(x,y) dx dy = \int_0^b \left(\int_0^a f(x,y) \;dx\right) \;dy \)
2) Evaluar primero la integral en \( y \):
\( \displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy = \int_0^a \left(\int_0^b f(x,y) \;dy\right) \;dx \)
Nota Una forma de evaluar una integral doble es evaluar las integrales internas y externas por separado.

Ejemplo 2
Usa ambos métodos dados arriba para evaluar la integral doble \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
Solución del Ejemplo 2
1) Calculamos primero la integral en \( x \) y luego la integral en \( y \).
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
Primero evaluamos la integral interna \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) asumiendo que \( y \) es constante de manera similar a cuando calculas derivadas parciales.
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
Evaluamos lo anterior
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
Simplificamos
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
Sustituimos \( I \) en \( V \) y calculamos la integral externa
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
Evaluamos la integral anterior
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)

2) Calculamos primero la integral en \( y \) y luego la integral en \( x \).

\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
Evaluamos la integral interna \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) asumiendo que \( x \) es constante
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
Simplificamos
\( I = 2x^2 \)
Sustituimos \( I \) en \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
Evaluamos la integral anterior
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
Notas
1) las dos formas de dividir la integral dan la misma respuesta.
2) Aunque estábamos calculando una integral doble, en realidad estábamos tratando con integrales simples y, por supuesto, se pueden utilizar todas las fórmulas y propiedades de las integrales.

Más Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 3
Evalúa la integral doble \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
Solución del Ejemplo 3
Comencemos con la integral interna
Sea \( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
Evaluamos \( I \)
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
Evaluamos lo anterior
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
Simplificamos
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
Sustituimos la integral interna \( I \) en \( V \)
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
Calculamos las integrales anteriores
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
Evaluamos usando los límites de integración
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)

Ejemplo 4 Los límites de integración pueden tener variables
Evalúa la integral doble \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
Solución del Ejemplo 4
Sea la integral interna \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \)
Calculamos la integral anterior
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
Evaluamos \( I \) usando los límites de integración
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
Simplificamos
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
Sustituimos \( I \) en \( V \) y calculamos la integral externa
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
Calculamos la integral anterior
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
Simplificamos
\( V = \ln 2 + 1 \)

Ejemplo 5
Evalúa la integral doble \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
Solución del Ejemplo 5
Sea la integral interna \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \)
Calculamos la integral anterior
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
Evaluamos \( I \) usando los límites de integración
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
Sustituimos \( I \) en \( V \) y calculamos la integral externa
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
Calculamos la integral anterior
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
Simplificamos
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)

Ejemplo 6
Encuentra la constante \( k \) tal que \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \)
Solución del Ejemplo 6
Sea \( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \)
Sea la integral interna \( \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \)
Calculamos \( I \)
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2}+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
Sustituimos \( I \) en \( V \)
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
Calculamos \( V \)
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
Ahora resolvemos para \( k \) la ecuación
\( k = 2 \)

Ejemplo 7
Encuentra la constante \( b \) tal que \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \) y \( b \gt 0\)
Solución del Ejemplo 7
Sea \( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \)
Sea \( I \) la integral interna
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
Calculamos \( I \)
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
Sustituimos \( I \) en \( V \) y evaluamos \( V \)
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
Para encontrar \( b \), necesitamos resolver la ecuación
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
Resolvemos la ecuación anterior
y seleccionamos la solución positiva dada por
\( b = -3+\sqrt{29} \)

Más Preguntas con Respuestas

Parte 1: Calcula las integrales

\( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^4\left( x^2+y^2 \right)dy\:dx \)
\( \displaystyle \int _2^4\:\int _1^4\left(\:\:x^2\:\:+\dfrac{1}{y^{\:}}\right)dy\:dx \)
\( \displaystyle \int _2^3\:\int _1^5\:\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)dx \: dy \)
\( \displaystyle \int _0^{\frac{\pi }{2}}\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin\left(x+y\right)\right)dy\:dx \)

Parte 2: Encuentra \( b \) que no sea igual a \( -1 \) o \( -2 \) tal que \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = 0 \)

Respuestas a las Preguntas Anteriores

Parte 1:

\( \dfrac{92}{3} \)
\( 4\ln (2) +56 \)
\( \dfrac{5}{2} \ln (5)+12 \ln (3/2) \)
\( 2 \)

Parte 2: \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e\right) \)
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e \right) = 0 \)
que da dos soluciones: \( b = 1\) y \( b = 2 \)

Más Referencias y Enlaces

área bajo la curva
Evaluar Integrales
Fórmulas y Reglas para Integrales en Cálculo
Teorema de Fubini
Gilbert Strang; MIT, Cálculo, Wellesley-Cambridge Press, 1991
Joel Hass, Universidad de California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; Cálculo Universitario, Transcendentales Tempranas, Tercera Edición , Boston Columbus , 2016, Pearson.
Matemáticas para Ingenieros con Ejemplos y Soluciones