La evaluación de la integral gaussiana \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) usando las integrales dobles y las coordenadas polares se presenta.
La integral gaussiana se define de la siguiente manera
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
y necesitamos evaluar \( I \).
Primero notamos que las integrales \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) y \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) tienen valores iguales. Por lo tanto, podemos escribir
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
Lo anterior puede escribirse como una integral doble de la siguiente manera
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
Sea \( x = r \cos \theta \) , \( y = r \sin \theta \) , \( r^2 = x^2 + y^2 \) las relaciones entre las coordenadas rectangulares y polares y usemos el cambio de integral de coordenadas rectangulares a coordenadas polares (I) dado anteriormente.
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
Observa que \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \), lo que nos da
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
lo cual puede escribirse como
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
Observa que usando límites, \( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \), ahora evaluamos
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
Evalúa la integral anterior
\( I^2 = \dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
Hasta ahora hemos calculado \( I^2 = \pi \) y por lo tanto tomando la raíz cuadrada, tenemos
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]