Se presenta un análisis matemático detallado del filtro paso bajo pasivo de primer y segundo orden.
Las matemáticas involucradas en la investigación de los filtros paso bajo de primer y segundo orden son muy exigentes. Sin embargo, se incluye una
Calculadora Gráfica de la Función de Transferencia del Filtro Paso Bajo y por lo tanto se puede utilizar para practicar más.
\( \) \( \) \( \)\( \)
Impedancias de Componentes Pasivos
Las impedancias \( Z_R \) de un resistor con resistencia \( R \) están dadas por:
\( \quad Z_R = R \)
Las impedancias \( Z_C \) de un capacitor con capacitancia \( C \) y las impedancias \( Z_L \) de un inductor con inductancia \( L \) se dan en forma
compleja respectivamente por:
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{ s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
donde \( s = j \; \omega \)
Función de Transferencia del Filtro Paso Bajo de Primer Orden
Consideremos el circuito a continuación. A medida que la frecuencia \( f \) de la señal de entrada \( v_{in} \) disminuye, la frecuencia angular \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \) disminuye, la impedancia del capacitor \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{ s \; C} = \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \) aumenta y, por lo tanto, la tensión a través de \( R \) tiende a cero y la tensión \( v_{out} \) tiende a un valor cercano a \( v_{in} \).
A medida que la frecuencia aumenta, la impedancia del capacitor disminuye a cero y, por lo tanto, la tensión de salida \( v_{out} \) tiende a cero. Por lo tanto, el circuito RC en la Figura 1 permite que solo pasen las frecuencias bajas hacia la salida. Es un filtro paso bajo.
Figura 1 - Filtro Paso Bajo RC
Sea \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) la función de transferencia.
El circuito en la Figura 1 es un divisor de tensión y usando las impedancias en forma compleja, tenemos
Nota: el orden de un filtro está dado por la potencia máxima de \( s \) en la función de transferencia. La potencia máxima de \( s \) en (I) anterior es igual a \( 1 \) y por lo tanto el filtro es de orden 1.
\( H(\omega) \) es una función compleja en forma de cociente de dos funciones
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
Según los números complejos, la magnitud está dada por
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
y el argumento (fase en circuitos de CA) está dado por
Argumento de \( H(\omega) \) = Argumento de \( Z_1 \) - Argumento de \( Z_2 \)
Nota: el argumento (en números complejos) y la fase (en circuitos de CA) son la misma cantidad.
La magnitud \( |H(\omega)| \) y la fase \( \Phi(\omega) \) de la función de transferencia \( H(\omega) \) en (II) anterior, están dadas por
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \;
\omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
La Frecuencia de Corte de \( - 3 \) dB del Filtro Paso Bajo de Primer Orden
La frecuencia angular de corte \( \omega_c \) se define como la frecuencia en la cual
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Sustituye \( |H(\omega_c)| \) por su expresión encontrada anteriormente para obtener la ecuación
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Eleva ambos lados de la ecuación anterior al cuadrado y reescribe como
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
Resuelve para obtener la solución
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Ejemplos de Filtro Paso Bajo de Primer Orden
Sea \( R_1 = 100 \; \Omega \) y \( C_1 = 1 \; \mu F \)
Sustituye \( R_1 \) y \( C_1 \) por sus valores numéricos para obtener
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
Nota que para mostrar mejor la planitud de la amplitud \( |H(\omega)| \) sobre las frecuencias permitidas por el filtro, graficamos
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] cuya unidad es el decibelio escrito como \( dB \) en un gráfico semi-logarítmico.
En la frecuencia de corte \( \omega = \omega_c \), tenemos
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
y
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
Nota que \( \omega_c \) se llama la frecuencia de corte de \( - 3 \text{ dB} \).
Pendiente de la Gráfica para Valores Grandes de \( \omega \)
Para valores grandes de \( \omega \), el término \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) es mucho mayor que \( 1 \) y por lo tanto podemos hacer la siguiente aproximación.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
Para \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
Para \( \omega = 10 \; \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
El factor \( 10 \) es una década y, por lo tanto, decimos que la pendiente de la gráfica es \( -20 \; \text{dB} \) por década.
Los puntos \( A \) y \( B \) en la gráfica a continuación ilustran los resultados anteriores. El punto \( A \) está en la frecuencia \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) y el punto \( B \) está en la frecuencia \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). A medida que nos movemos de \( A \) a \( B \), la amplitud disminuye en \( 20 \; \text{dB} \).
Nota que este comportamiento ocurre para valores grandes de \( \omega \) por encima de la frecuencia de corte.
A continuación se muestra la gráfica de \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) y la fase \( \Phi(\omega) \).
Figura 2 - Función de Transferencia del Filtro Paso Bajo de Primer Orden RC
La fase \( \Phi \) es igual a \( -45^{\circ} \) en \( \omega = \omega_c \)
Figura 3 - Fase del Filtro Paso Bajo de Primer Orden RC
Función de Transferencia del Filtro Paso Bajo de Segundo Orden
Ahora analizamos la función de transferencia de dos filtros paso bajo en cascada.
En general, la función de transferencia \( H(s) \) del circuito en cascada
mostrado a continuación
Figura 4 - Dos Circuitos en Cascada
se da por
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
Ahora usamos la fórmula anterior (I) para encontrar la función de transferencia del filtro paso bajo de segundo orden, que es un conjunto de dos filtros paso bajo en cascada, como se muestra a continuación.
Figura 5 - Filtro Paso Bajo RC de Segundo Grado
Sustituye \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \), \( Z_3 = R_3 \) y \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) en la fórmula (I) anterior para obtener
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
Nota que el mayor exponente de \( s \) es igual a \( 2 \) y, por lo tanto, el filtro es de orden \( 2 \).
Sustituye \( s = j \; \omega \) y \( s^2 = - \omega^2\) en \( H(s) \) anterior para obtener
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
Deja
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
y
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
y reescribe \( H(\omega) \) como
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
La magnitud y la fase de \( H(\omega) \) se dan por
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
La Frecuencia de Corte de \( -3 \text{ dB} \) del Filtro Paso Bajo de Segundo Orden
La frecuencia angular de corte \( \omega_c \) es la frecuencia en la cual
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Sustituye \( |H(\omega_c)| \) por su expresión anterior para obtener la ecuación
\[ \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \]
Eleva ambos lados al cuadrado y reescribe la ecuación como
\[ A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \]
La ecuación anterior tiene la forma cuadrática en \( \omega_c^2 \) y por lo tanto tiene 4 soluciones pero solo una es válida para este problema y está dada por
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
Reescribe la solución anterior como
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
lo cual puede ser reescrito como
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
Deja \( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \) lo cual da \( B^2 = 4 \; A \; r^2 \) y \( B^4 = 16 \; A^2 \; r^4 \)
Sustituye \( B^2 \) y \( B^4 \) en la última expresión de \( \omega_c \) y simplifica para obtener
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
Pendiente de la Gráfica para Valores Grandes de \( \omega \)
Primero expandimos la expresión en el denominador de \( | H(\omega) | \)
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
Para valores grandes de \( \omega \), el término \( A^2 \omega^4 \) es mucho más grande que todos los términos bajo la raíz cuadrada en el denominador y, por lo tanto, podemos hacer la siguiente aproximación.
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
Para \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
Para \( \omega = 10 \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \]
El factor \( 10 \) es una década y, por lo tanto, decimos que la pendiente de la gráfica es \( -40 \; \text{dB} \) por década.
A continuación se muestran la gráfica de \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) y la fase \( \Phi(\omega) \).
Los puntos \( A \) y \( B \) en la gráfica a continuación ilustran los resultados anteriores. El punto \( A \) está en la frecuencia \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) y el punto \( B \) está en la frecuencia \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). A medida que nos movemos de \( A \) a \( B \), la amplitud disminuye en \( 40 \; \text{dB} \).
Figura 2 - Función de Transferencia del Filtro Paso Bajo de Segundo Orden RC-RC
Figura 3 - Fase del Filtro Paso Bajo de Segundo Orden RC-RC
