Se presentan cálculos de transformadas de Laplace con ejemplos que incluyen explicaciones paso a paso.
Si \( f(t) \) es una función unilateral tal que \( f(t) = 0 \) para \( t \lt 0 \), entonces la transformada de Laplace
\( F(s) \) está definida por la integral impropia
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
o la definición más precisa para acomodar funciones como la función delta \( \delta (t) \) como veremos en el ejemplo 5 a continuación.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
donde \( s \) se permite ser un número complejo para el cual la integral impropia anterior converge.
En lo que sigue, \( j \) es la unidad imaginaria definida por \( j = \sqrt{-1} \)
Ejemplo 1
Encuentra la transformada de Laplace de la función \( f(t) \) definida por
\[ f(t) = 1 \]
Solución al Ejemplo 1
Usa la definición de la transformada de Laplace dada arriba
\[ F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
\( f(t) = 1 \) sobre el intervalo de integración \( [0, \infty ) \), por lo tanto \( F(s) \) se simplifica a
\[ F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \]
Calcula la integral impropia anterior de la siguiente manera
\[ F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \]
\[ = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \]
Si la parte real de \( s \) es mayor que cero, \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\) y por lo tanto la integral converge y \( F(S) \) está dado por
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
Ejemplo 2
Encuentra la transformada de Laplace de la función \( f(t) \) definida por
\[ f(t) = e^{at} \]
Solución al Ejemplo 2
Usa la definición dada arriba
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
Simplifica los exponentes
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
Calcula la integral impropia anterior
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
Para la parte real de \( s \) mayor que la parte real de \( a\), \( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\) y por lo tanto la integral converge y \( F(S) \) está dado por
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
Ejemplo 3
Encuentra la transformada de Laplace de la función \( f(t) \) definida por
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
Solución al Ejemplo 3
Usa la definición dada arriba
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt \)
Expresa \( \sin(\omega t) \) en términos de exponenciales de la siguiente manera
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
Sustituye y calcula la integral
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
Separa el integrando y reescribe la integral como una suma/resta de integrales
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
Agrupa los exponentes y factoriza \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
Evalúa la integral
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega-s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
Si la parte real de \( s \) es mayor que cero, \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) y \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \), por lo tanto la integral converge y \( F(S) \) está dado por
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
Pasa al denominador común y simplifica para obtener
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
Ejemplo 4
Encuentra la transformada de Laplace de la función \( f(t) = \cosh(\omega t) \).
Solución al Ejemplo 4
Usa la definición de la transformada de Laplace
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
Expresa \( \cosh(\omega t) \) en términos de exponenciales de la siguiente manera
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
Sustituye y calcula la integral
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
Separa el integrando
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
Agrupa los exponentes y factoriza \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
Evalúa las integrales
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega+s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)
Para la parte real de \( s \) mayor que \( \omega \) , \( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) y \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \), por lo tanto la integral converge y está dada por
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
y se simplifica como
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
Ejemplo 5 Transformada de Laplace de las Funciones Delta de Dirac.
Encuentra la transformada de Laplace de las funciones delta: a) \( \delta (t) \) y b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
Solución al Ejemplo 5
Primero recordamos que las integrales que involucran funciones delta se evalúan de la siguiente manera
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
1 & \text{para} A \lt a \lt B \\
0 & \text{en otro caso} \\
\end{cases}
\]
a)
Para encontrar la transformada de Laplace de \( \delta (t) \), necesitamos la definición precisa de la transformada de Laplace dada por
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
El intervalo de integración comienza desde \( 0^{-} \) para acomodar la función delta \( \delta(t) \) en la integración como se muestra arriba.
Evalúa la integral anterior
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
Para la función \( \delta (t - a) , a \gt 0\),
Dado que \( a \gt 0 \), la definición de la transformada de Laplace nos da
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)