Se presentan cálculos de la potencia media en circuitos de CA con ejemplos y sus soluciones. También se incluyen problemas con soluciones.
Considere el circuito siguiente
Deje que la impedancia \( Z \) se escriba en forma polar como \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
Deje \( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
entonces
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
La potencia instantánea \( P(t) \) entregada a la impedancia \( Z \) está dada por
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
La potencia media se define por
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
Sustituya \( P(t) \) por la expresión encontrada arriba y escriba la potencia media como
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \]
Expanda: \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \) y sustituya en \( P_a \)
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \]
Escriba la integral como una suma de dos integrales: una integral a la izquierda y una segunda integral a la derecha de la siguiente manera:
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \]
Usando la identidad trigonométrica: \( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \) para reescribir la integral a la derecha como
\[ \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \]
\[ \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \]
\[ \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \]
Use la fórmula \( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \) para simplificar \( \cos 2 \omega T \)
\[ \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \]
\[ \quad \quad \quad \quad = 0 \]
Use la identidad trigonométrica \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) en la integral a la izquierda y escriba
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \]
Escriba la integral como una suma de dos integrales
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \]
De manera similar a lo anterior, se puede demostrar que \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
Por lo tanto, \( P_a \) está dado por
\[ \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \]
\[ \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \]
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
El término \( \cos \theta \) en la fórmula anterior se llama el factor de potencia.
Nota que, en general, \( |Z| \) y \( \cos \theta \) dependen de la frecuencia y, por lo tanto, la potencia media depende de la frecuencia de la fuente de voltaje (o corriente).
Como se muestra anteriormente, los cálculos podrían ser bastante desafiantes y, por lo tanto, se incluye una calculadora de potencia para circuitos RLC en serie para más práctica e investigaciones.
Ejemplo 1
En el circuito serie RLC mostrado a continuación, el voltaje de la fuente se da por \( v_i = 5 \cos (\omega t) \), la capacitancia del condensador \( C = 100 \; \mu F \), la inductancia del inductor \( L = 100 \; mH\) y la resistencia del resistor \( R = 1000 \; \Omega \), y la frecuencia \( f = 2000 \; Hertz \).
a) Encuentre la impedancia total \( Z \) del circuito serie RLC y exprese en forma polar.
b) Encuentre la potencia media entregada a la impedancia total \( Z \).
Solución al Ejemplo 1
a)
Para un circuito serie RLC \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
Sustituya \( R \), \( L \), \( C \) y \( \omega \) por sus valores numéricos para obtener
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
La impedancia \( Z \) se escribe en forma compleja estándar \( Z = a + j b \)
En forma polar, la misma impedancia se escribe como \( Z = |Z| e^{j\theta} \)
donde \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \) y \( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
Por lo tanto,
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
Sustituya \( V_0 \), \( |Z| \) y \( \theta \) por sus valores numéricos
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; \text{Vatios} \)
Ejemplo 2
Demuestre que la potencia media entregada a un circuito serie RLC, como el de ejemplo 1, es máxima para una frecuencia \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) y encuentre una fórmula para esta potencia máxima.
Solución al Ejemplo 2
a) Para un circuito serie RLC, la impedancia total está dada por: \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
La frecuencia angular \( \omega \) está relacionada con la frecuencia \( f \) por la fórmula: \( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
Sustituya \( \omega \) por \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) en \( Z \) para obtener
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
lo que se simplifica a
\( Z = R \)
Para la frecuencia \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), la impedancia \( Z \) es real y, por lo tanto,
\( |Z| = R \)
y el argumento \( \theta \) de \( Z \) es igual a cero. Por lo tanto, \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) tiene un valor máximo.
Para la frecuencia \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), el factor de potencia \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) es máximo y \( |Z| \) es mínimo, lo que da una potencia media con un valor máximo dado por
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
Ejemplo 3
En un circuito serie RLC, como el de ejemplo 1 anterior, el voltaje de la fuente se da por \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \), la capacitancia del condensador \( C = 470 \mu \)F, la inductancia del inductor \( L = 50 \)mH y la resistencia del resistor es \( R = 100 \; \Omega \).
a) Exprese la potencia media \( P_a \) dada por su fórmula anterior y haga un gráfico de \( P_a \) en función de la frecuencia angular \( \omega \) y encuentre la ubicación del máximo de \( P_a \).
b) Verifique que la potencia es máxima en \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (o la frecuencia \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)) y se da por \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) como se explicó en el ejemplo 2 anterior.
Solución al Ejemplo 3
Para un circuito serie RLC \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
Módulo: \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
Argumento: \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
La potencia media \( P_a \) está dada por
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Sustituya \( V_0 \) y \( |Z| \) por sus expresiones
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
Sustituya \( R \), \( L \) y \( C \) por sus valores para obtener \( P_a \) como función de \( \omega \)
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
El gráfico de \( P_a (\omega ) \) en función de \( \omega \) se muestra a continuación.
La calculadora gráfica geogebra gratuita se utilizó para graficar y ubicar el máximo según se muestra en el gráfico.
b)
En el ejemplo 2 anterior, se explicó que la potencia media es máxima en
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) rad/s
La potencia máxima está dada por: \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) Vatios
Ambos valores calculados de \( \omega_r \) y \( P_a max \) son iguales a los valores encontrados gráficamente anteriormente.