Calcular Impedancia Equivalente en Circuitos de CA

Tabla de Contenidos

Ejemplos de cómo utilizar las reglas de impedancias conectadas en serie y paralelo para calcular impedancias equivalentes en varios circuitos de CA y presentarlas como números complejos en formas estándar, complejas y polares. También se presentan soluciones detalladas a los ejemplos.

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1
Encuentra la impedancia equivalente entre los puntos A y B en el circuito dado a continuación y escríbela en forma exponencial y forma polar. .

Solución al Ejemplo 1
Sea \( Z_1 \) la impedancia del resistor R y por lo tanto \( Z_1 = R\)
Sea \( Z_2 \) la impedancia del capacitor \( C \) y el inductor \( L \) que están en paralelo.
\( Z_1 \) y \( Z_2 \) están en serie y la impedancia equivalente \( Z_{AB} \) se da por la regla de impedancias en serie como
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

La impedancia de un condensador con capacitancia \( C \) en forma compleja es igual a \( \dfrac{1}{ j \omega C} \)
La impedancia de un inductor con inductancia \( L \) en forma compleja es igual a \( j \omega L \)
Ahora usamos la regla de impedancias en paralelo para calcular \( Z_2 \) como
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
lo cual se puede escribir como
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
Escribimos el lado derecho con un denominador común
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
Resolvemos para \( Z_2 \)
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Sustituimos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) por sus expresiones para obtener \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Encontramos el módulo \( |Z_{AB}| \) y el argumento \( \theta \) de \( Z_{AB} \)
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
En forma exponencial, la impedancia equivalente se da por
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
En forma polar se escribe como
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

Ejemplo 2
Encuentra la impedancia equivalente entre los puntos A y B en el circuito dado a continuación y escríbela en formas exponencial y polar dadas:
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) la frecuencia de la señal \( f = 1.5 \; kHz \)

Solución al Ejemplo 2
Sea \( Z_1 \) la impedancia del capacitor \( C_1 \) y el inductor \( L_1 \) que están en paralelo.
Sea \( Z_2 \) la impedancia del capacitor \( C_2 \) y el inductor \( L_2\) que están en paralelo.
\( Z_1 \) y \( Z_2 \) están en serie como se muestra a continuación, por lo tanto, usando ahora la regla de impedancias en serie para calcular \( Z_{AB} \) de la siguiente manera
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


Ahora usamos la regla de impedancias en paralelo para calcular \( Z_1 \) y \( Z_2 \) de la siguiente manera
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
re-escribimos lo anterior como
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
escribimos el lado derecho con denominador común
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
Resolvemos para \( Z_1 \)
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \) se puede calcular de manera similar a \( Z_1 \) y se da por
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Ahora sustituimos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) por sus expresiones en \( Z_{AB} \) para obtener
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Factorizamos \( j \omega \) y reescribimos \( Z_{AB} \) como
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
Sustituimos los valores numéricos de \( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \) y \( \omega = 2 \pi f \) en \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
Nota que \( Z_{AB} \) es puramente imaginario y, por lo tanto, el módulo \( |Z_{AB}| \) y el argumento \( \theta \) de \( Z_{AB} \) se dan por
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
En forma exponencial
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
En forma polar
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

Ejemplo 3
Encuentra la impedancia equivalente entre los puntos A y B en el circuito dado a continuación y escríbela en formas exponencial y polar, dado que
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) la frecuencia de la señal \( f = 0.5 \; kHz \)

Solución al Ejemplo 3
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) y \( Z_3 \) están en paralelo y su impedancia equivalente \( Z_{2,3} \) usando la regla de impedancias en paralelo se da por
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \) y \( Z_{2,3} \) están en serie, por lo tanto
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
Sustituimos
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
Sustituimos los valores numéricos de \( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) la frecuencia de la señal \( f = 0.5 \; kHz \) para obtener
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
Módulo de \( Z_{AB} \)
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
Argumento de \( Z_{AB} \)
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) o \( \theta = -17.07^{\circ} \)
Por lo tanto, en forma exponencial
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
y en forma polar
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

Más Referencias y Enlaces