Una calculadora para calcular la impedancia equivalente de un resistor, un condensador y un inductor en números complejos en forma estándar, su módulo y su argumento, que también se pueden utilizar para escribir la impedancia en formas exponencial y polar.
\( \) \( \) \( \)
Primero, presentamos las fórmulas utilizadas en la calculadora de circuito RLC en paralelo, y la prueba de estas fórmulas se presenta en la parte inferior de la página.
Sea
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
Aplicamos la regla de impedancias de circuitos en paralelo para encontrar la impedancia equivalente \( Z \) de la siguiente manera
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
Definimos
\( X_L = \omega L \) y \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
y reescribimos lo anterior como
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
El módulo \( \rho \) del número complejo anterior está dado por
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
y su argumento \( \alpha \) está dado por
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
reorganizando
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
Ahora usamos la forma exponencial de los números complejos para escribir
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
Ahora escribimos la impedancia equivalente \( Z \) como un número complejo en forma exponencial tomando el recíproco de lo anterior
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
Escribiendo \( Z \) como \( Z = r e^{j\theta} \), tenemos
el módulo de \( Z \) como
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
y el argumento de \( Z \) como
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( f = 1.5 \; kHz \), \( C = 15 \; \mu F \), \( L = 20 \; mH \) y \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
Módulo: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
Argumento: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
Puede ingresar los valores dados en la calculadora y verificar los resultados.