Encontre e represente graficamente as tensões no capacitor \( C \) e no resistor \( R \) e a corrente \( i \) em função do tempo no circuito abaixo
Fig.1 - Circuito RC Passa Baixa
dado que a tensão de entrada é \( v_i(t) \) é uma onda quadrada conforme mostrado no gráfico abaixo.
Fig.2 - Onda Quadrada como Entrada do Circuito RCSolução para o problema
A equação , no domínio \( s \)
, relacionando a tensão \( V_C(s) \) através do capacitor e a tensão de entrada \( V_i(s) \) em um circuito RC já foi determinado.
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
Agora precisamos determinar a transformada de Laplace \( V_i(s) \) da onda quadrada \( v_i(t) \).
Primeiro expressamos a onda quadrada como uma soma de funções degrau unitário deslocadas como segue
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
Pegamos a transformada de Laplace de ambos os lados acima e usamos a propriedade de lineridade da transformada de Laplace para escrever
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
A transformada de Laplace de uma função degrau unitário deslocada da forma \( u(t - \alpha) \) é dada por
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
Usamos o acima para escrever a transformada de Laplace \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \) como
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
Substitua \( V_i(s) \) na equação (i) pela expressão acima e resolva para \( V_C(s) \) e coloque todos os termos com \( V_C(s) \) à direita
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
Resolva para \( V_C(s) \)
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
Decomponha a expressão racional \( \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \) em frações parciais (consulte Apêndice - A ) e reescreva como
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Divida o numerador e o denominador no termo do lado direito por \( R\;C \) e fatore \( V_0 \) e reescreva-o como
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Substitua o acima na expressão de \( V_C(s) \) dada em (II) para escrever \( V_C(s) \) como
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
O acima pode ser escrito como
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- e^{-(n+1/2)\;T s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \)
Agora usamos as fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace \( v_C( t) \) (domínio do tempo) de \( V_C(s) \)
Precisamos aplicar a transformação inversa de Laplace para encontrar \( v_C(t) \) from \( V_C(s) \)
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
Os dois termos principais entre colchetes podem ser escritos como
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
A propriedade 2 em propriedades da transformada de Laplace pode ser escrita como
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) , where \( f(t) \) é a transformada inversa de Laplace de\( F(s) \)
Agora usamos as fórmulas da transformada de Laplace para avaliar
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
Usando tudo o que foi dito acima, agora escrevemos \( v_C(t) \) como
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
Aplicações Numéricas
Sejam \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \vezes 5 \vezes 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
Abaixo são mostrados os gráficos da entrada \(v_i(t) \) como uma onda quadrada definida acima como uma soma de funções degrau deslocadas e a tensão \( v_C(t) \) através do capacitor também dada acima. Existem quatro gráficos para diferentes valores do período \( T \) da onda quadrada de entrada.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - Representa graficamente a onda quadrada de entrada e a tensão v_C(t) através do capacitor por um período T = 15 RC
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - Representa graficamente a onda quadrada de entrada e a tensão v_C(t) através do capacitor por um período T = 10 RC
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - Representa graficamente a onda quadrada de entrada e a tensão v_C(t) através do capacitor por um período T = 5 RC
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - Representa graficamente a onda quadrada de entrada e a tensão v_C(t) através do capacitor por um período T = 2 RC
