Resposta do circuito RC a uma tensão de degrau

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Uso de transformadas de Laplace para estudar a resposta de circuitos RC a mudanças rápidas nas tensões e correntes de entrada são apresentadas na forma de exemplos com soluções detalhadas. Também mostramos como modelar matematicamente os processos de carga e descarga de um capacitor. Uma calculadora on-line para calcular expressões para tensões e atual também está incluído.

Problemas com soluções

Problema 1 Carregar um capacitor
Encontre e represente graficamente as tensões no capacitor \( C \) e no resistor \( R \) e a corrente \( i \) em função do tempo no circuito abaixo, dado que a tensão de entrada é \( v_i = V_0 \; u(t) \), onde \( V_0 = 10 \) V é uma constante e \( u(t) \) é a função degrau unitário, as resistências \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF . Em \( t = 0 \), a tensão no capacitor é igual a zero.

Solução para o Problema 1
Use a lei das tensões de Kirchhoff para escrever
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \)       (EU)
Use a lei de Ohm para escrever
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
A relação entre tensão e corrente de carga de um capacitor é dada por
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
Derive ambos os lados do item acima e reescreva como
\(i(t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
Portanto, a equação (I) pode ser escrita como
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
Faça a transformada de Laplace de ambos os lados da equação acima
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Use a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e também o fato de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescrever o acima como
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L } \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \)       (II)
Seja \( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) e \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \)
Use a propriedade da derivada em relação ao tempo \( t \) para reescrever (veja fórmulas e propriedades de transformada de Laplace)
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
Dado que em \( t = 0 \), a tensão no capacitor é igual a zero, temos \( v_C(0) = 0 \) , a equação (II) pode ser escrita como
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
NOTA que transformamos nossa equação diferencial inicial do domínio \( t \) do tempo para o domínio \( s \).
A transformada de Laplace \( V_i(s) \) de \( v_i(t) = V_0 u(t) \) é dada por (veja fórmulas e propriedades da transformada de Laplace)
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
A equação no domínio \( s \) torna-se
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Fatore \( V_C(s) \) no lado esquerdo
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
Resolva para \( V_C(s)\) para obter
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
Decomponha o acima em frações parciais para reescrever o acima como (consulte Apêndice A na parte inferior da página para cálculos detalhados).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1}\)
Divida o numerador e o denominador no segundo termo no lado direito da equação acima por \( R\;C \) e fatore \( V_0 \) para reescrever \( V_C(s) \) como
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Agora usamos as fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace \( v_C( t) \) (domínio do tempo) de \( V_C(s) \)
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left \{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
e
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\ frac{t}{R\;C}} \)
Por isso
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) você(t) \)
A tensão \( v_R(t) \) através do resistor é dada por
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac {t}{R\;C}} você(t) \)
A corrente \( i(t) \) é dada por
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Notas: A tensão \( v_C(t) \) através do capacitor aumenta com o tempo de acordo com uma função exponencial natural \( e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \) e, portanto, o parâmetro \ ( R\;C \) é chamada de constante de tempo.

Aplicações Numéricas
Sejam \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
Os gráficos de corrente e tensão são mostrados abaixo.
Observe o seguinte em \( t = 0 \):
1) Como o capacitor não foi carregado antes de \( t = 0 \), a tensão \( v_C(0) \) através do capacitor é igual a zero e o capacitor se comporta como um curto circuito em \( t = 0 \). \( v_C(t) \) começa a aumentar à medida que \( t \) aumenta e isso explica o processo de carregamento do capacitor.
2) a tensão \( v_R (0) \) através do resistor é igual à tensão da fonte \( 10 \) V e começa a diminuir à medida que \( t \) aumenta.
3) A corrente \( i(0) \) está em seu valor máximo \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10/200 = 0,05 \) A e diminui à medida que \( t \) aumenta.
Observe o seguinte, pois \( t \) é grande:
\( v_C(t) \) é quase igual a \( v_i(t) \) o que significa que o capacitor está totalmente carregado. A corrente \( i(t) \) é quase zero porque o capacitor se comporta como um circuito aberto .

Problema 2 Descarregando um capacitor
O capacitor \( C \) no circuito abaixo é inicialmente carregado com \( V_0 = 10 \) Volts. Em \( t = 0 \) a chave S do circuito é fechada. Encontre e represente graficamente as tensões no capacitor \( C \) e no resistor \( R \), e a corrente \( i \) em função do tempo \( t \).

Solução para o Problema 2
Use a lei das tensões de Kirchhoff para escrever
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \)       (I)
Use a lei de Ohm para escrever
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
A relação entre a tensão através de um capacitor e a corrente através dele é a seguinte:
Seja \( Q_0 \) a carga inicial do capacitor em \(t=0\). Como o capacitor está descarregando, a carga total diminuirá e será escrita como
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
A tensão \( v_C(t) \) através do capacitor é dada por
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
Pegue a derivada do lado esquerdo e do lado direito
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
Use a linearidade da derivada para escrever
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{dt} \)
\( Q_0 \) é uma constante e sua derivada é igual a zero, portanto, o acima pode ser simplificado para
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
que pode ser escrito como
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \)    
NOTA o sinal negativo é devido ao fato do capacitor estar descarregando.
Substitua \( i(t) \) em \( v_R (t) \) acima para obter
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
Portanto, a equação (I) pode ser escrita como
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
Faça a transformada de Laplace de ambos os lados da equação acima
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Use a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e também o fato de que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) para reescrever o acima como
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \)       (II)
Seja \( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \)
Use a propriedade da derivada em relação ao tempo \( t \) para escrever (veja fórmulas e propriedades de transformada de Laplace)
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
Dado que em \( t = 0 \), o capacitor está carregado e sua tensão é igual a \( V_0 \), temos portanto \( v_C(0) = V_0 \) ; e substituindo na equação (II) para obter

\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
Reescreva a equação acima como
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
Resolva para \( V_C(s)\) para obter
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
Divida o numerador e o denominador por \( R \; C \)
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \) é dado pela transformada inversa de Laplace; por isso
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
Agora usamos as fórmulas e propriedades da transformada de Laplace para encontrar a transformada inversa de Laplace \( v_C( t) \) (domínio do tempo) de \( V_C(s) \)
Por isso
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
A tensão \( v_R(t) \) através do resistor é dada por
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
A corrente \( i(t) \) é dada por
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)

Aplicações numéricas: \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) e \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (segundos)
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( eu(t) = 0,05 \; e^{-t} \) A
Os gráficos de corrente e tensão são mostrados abaixo.
Observe o seguinte em \( t = 0 \):
1) Como o capacitor foi carregado antes de \( t = 0 \) na tensão \( v_C(0) = 10 \) Volts, ele começa a diminuir à medida que \( t \) aumenta e isso explica a processo de descarga do capacitor.
2) Em \( t = 0 \); \( v_R (0) = v_C(0) = 10\).
3) Em \( t = 0\), a corrente \( i(0) \) está no seu máximo dado por \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10 }{200} = 10/200 = 0,05 \) A e começa a diminuir à medida que \( t \) aumenta.
Observe o seguinte, pois \( t \) é grande:
Em valores grandes de \( t \), todas as tensões e correntes são quase iguais a zero porque o capacitor foi completamente descarregado e a energia armazenada no capacitor é dissipada como calor pelo resistor \( R \).

Apêndice

Apêndice A

Expanda em frações parciais; encontre \( A \) e \( B \) tais que
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
Multiplique todos os termos acima por \( s(R\;C s + 1) \) e simplifique
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \)      (1)
Defina \( s = 0 \) na equação (1) para obter
\( A = V_0 \)
Defina \( A = V_0 \) e \( s = 1 \) na equação (1)
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
Simplifique e resolva para \( B \)
\( B = - R\;C V_0 \)
Daí a decomposição em frações parciais
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)

Mais referências e links