디랙 델타 함수 \( \delta(t) \)와 헤비사이드 단위 단계 함수 \( u(t) \)는 예제와 자세한 해결책과 함께 제시됩니다. 이 두 함수는 다양한 공학 시스템의 수학적 모델링에 사용됩니다. 단위 단계 전압에 대한 전기 회로의 응답을 모델링하는 몇 가지 예가 포함되어 있습니다.
\( \)\( \)\( \)
헤비사이드 단위 단계 함수라는 단위 헤비사이드 단계 함수 \( u(t) \) (또는 헤비사이드 함수로도 불리며 \( H(t) \)로 쓰입니다)는 다음과 같이 정의됩니다.
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{for } t \lt 0 \\
1 & \text{for } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
따라서 다음과 같이 이어집니다.
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{for } t \lt t_0 \\
1, & \text{for } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
단계 함수의 주요 용도 중 하나는 예를 들어 스위치를 모델링하는 것입니다.
\( t = t_0 \)에서 회로에 전압 \( v(t) \)을 적용해야 하는 경우, 시간에 따른 전압은 \( v(t) u(t-t_0) \)로 표현될 수 있습니다.
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{if } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{if } t \lt t_0 \end{cases}
\)
예를 들어, \( t^2 u(t-1) \)의 그래프가 아래에 나와 있습니다.
예제 1
다음 적분을 계산하세요:
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \) b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \) d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \) e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
예제 1의 해결책
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)인 경우에 속성 1을 적용
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)인 경우에 속성 1을 적용
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)인 경우에 속성 1을 적용
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) 속성 2를 적용하면 \( - 3 \lt 0 \) 이거나 \( -3 \)이 적분 구간 밖에 있음.
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) 속성 2를 적용하면 \( 0 \lt 0^+ \) 이거나 \( 0 \)이 적분 구간 밖에 있음.
예제 2
다음 함수에 대한 도함수를 평가하세요:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
예제 2의 해결책
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
예제 3
그래프에 대한 방정식을 작성하고 해당 도함수를 사용하여 다음에 대한 단계 함수 \( u(t) \)를 사용하세요.
a)
b)
c)
d)
예제 3의 해결책
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)
