주파수 영역의 전달 함수 AC 회로의 예제 및 해결책으로 제시됩니다. 문제와 해결책도 포함되어 있습니다. 문제 와 그들의 해결 도 포함됩니다.
교류 회로에서 복소수 사용하는 아이디어 와
RLC 회로에서의 계산 을 사용하여 주파수 영역에서의 전달 함수를 개발하고 계산합니다.
보통 임피던스를 \( j \omega \)를 사용하여 표현합니다. 그러나 더 복잡한 임피던스 표현의 경우, 단순화된 식을 얻기 위해 \( s = j \omega \)를 사용하는 것이 더 쉬울 수 있습니다.
엮인 회로의 전달 함수 에 대한 자세한 내용이 포함되어 있습니다.
A - 커패시터 및 인덕터 임피던스의 주파수 행동
커패시터와 인덕터는 다른 주파수에 대해 다르게 작동합니다.
주어진 주파수 \( \omega \)에서, 용량 \( C \)을 갖는 커패시터의 임피던스 \( X_C\)는 다음과 같습니다.
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \]
및 인덕터 \( L \)을 갖는 인덕터의 임피던스 \( X_L\)는 다음과 같습니다.
\[ Z_L = j \; \omega L \]
\( X_C \) 및 \( X_L \)은 복소형 임피던스이며 각각의 모듈러스는 다음과 같습니다.
\[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \]
\[ | Z_L | = \omega L \]
\( C = 100 \mu \; F \) 및 \( L = 100 \; m H \)로 두고 \( | Z_C | \) 및 \( | Z_L | \)의 그래프를 그려보세요.
\( | Z_C | \) 및 \( | Z_L | \)의 그래프는 아래와 같습니다. \( |Z_C| \)의 그래프는 쌍곡선이고 \( |Z_L| \)의 그래프는 직선입니다.
주목할 중요한 특성:
1) 주파수가 작고 0에 가까울 때, 커패시터의 임피던스 \( |Z_C| \)는 매우 크고 인덕터의 임피던스 \( |Z_L| \)는 매우 작습니다(0에 가까움).
2) 주파수가 클 때, 커패시터의 임피던스 \( |Z_C| \)는 매우 작습니다(0에 가까움) 그리고 인덕터의 임피던스 \( |Z_L| \)는 큽니다.
3) 일반적으로 저항, 커패시터 및 인덕터의 조합을 포함한 임피던스는 주파수의 함수이므로 전압 및 전류도 주파수의 함수입니다.
임피던스가 큰 경우, 이것을 개방 회로처럼 취급할 수 있으며, 임피던스가 작은 경우에는 단락 회로처럼 작동합니다.
위의 특성들은 우리가 다른 교류 회로의 특성을 이해하는 데 도움이 됩니다.
\( s = j \omega \)로 쓰면 용량 \( C \)의 임피던스는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ s \; C} \]
인덕터 \( L \)의 임피던스는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ Z_L = s L \]
복소수의 극형태에 대한 검토
복소수에서, 허수 단위는 \( j = \sqrt {-1} \) 또는 \( j^2 = - 1 \)로 정의됩니다.
복소수 \( Z = a + j b \)의 극 형태는 다음과 같습니다.
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
여기서 \( |Z| \) 및 \( \theta \)는 각각 \( Z \)의 모듈러스와 인자 로, 다음과 같이 정의됩니다.
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) 및 \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) 이고 범위는 \( -\pi \lt \theta \le \pi \)입니다.
전자기 교류 회로에서 복소수를 극 형태로 사용하는 주요 이점 중 하나는 이러한 수를 나누고 곱하는 것이 쉽다는 것입니다.
극 형태로 주어진 두 복소수 \( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)는 다음과 같습니다.
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) 그리고 \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
곱
\( Z_1 \cdot Z_2 \)의 곱은 다음과 같습니다.
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
나눗셈
\( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)의 나눗셈은 다음과 같습니다.
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
거듭제곱
\( Z_1^n \)은 다음과 같습니다.
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)
B-주파수 영역에서의 전압 전달 함수
아래 단순한 전압 분배기를 고려하고 전압 및 임피던스를 사용하여 출력 전압을 표현합니다.
Fig.1 - 전압 분배기 키르히호프의 법칙 및 오머의 법칙을 교류 회로에 확장하여 \( Z_1 \)과 \( Z_2 \)가 복소 임피던스인 경우에, 우리는 다음을 얻습니다.
\( V_{out} = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} V_{in}\)
여기서 \( V_{out} \) 및 \( V_{in} \)은 전압 \( v_{out} \) 및 \( v_{in} \)의 복소 형식 입니다.
일반적으로 \( Z_1 \) 및 \( Z_2 \)는 전압 소스 \( v_i \)의 주파수 \( \omega \) 및 비율에 따라 달라집니다. \( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)는 주파수 영역에서의 전압 전달 함수라고 합니다.
위의 예에서 \( H(\omega) \)는 다음과 같습니다.
\( H(\omega) = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} \)
전달 함수 \( H \)는 주파수 \( \omega \)의 함수입니다. 왜냐하면 일반적으로 임피던스가 소스 전압 (또는 전류)의 주파수에 따라 달라지기 때문입니다.
예제 1
아래 회로의 주파수 영역에서의 전달 함수를 찾고 그 크기와 인자 (또는 위상)를 그래프로 표시하세요.
예제 1의 해결 교류 회로의 임피던스 공식을 사용하여, 아래의 RC 회로에서 출력 전압 (복소 형식) \( V_{out} \)은 다음과 같습니다.
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
위를 단순화하고 주파수 영역에서의 전압 전달 함수 \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( H(\omega) \)는 주파수 영역에서의 전달 함수이며 출력과 입력 간의 관계를 제공하며 주파수 \( \omega \)에 의존합니다.
예제 2
아래 회로의 주파수 영역에서의 전달 함수를 찾고 그 크기와 인자 (또는 위상)를 그래프로 표시하세요.
예제 2의 해결 교류 회로의 임피던스 공식을 사용하여, 아래의 RC 회로에서 출력 전압 (복소 형식) \( V_{out} \)은 다음과 같습니다.
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)
분자와 분모를 \( j \; \omega \; C \)로 곱하고 단순화하여 주파수 영역에서의 전압 전달 함수 \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)
주파수 영역에서의 전달 함수는 다음과 같이 극형태로 쓸 수 있습니다.
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
\( H(\omega) \)의 크기 \( | H(\omega) | \)는 다음과 같습니다.
\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)
\( H(\omega) \)의 위상 \( \phi(\omega) \)은 다음과 같습니다.
\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
\( | H(\omega)| \) 및 위상 \( \phi(\omega) \)의 그래프는 아래에 표시됩니다.
예제 3
아래 회로의 주파수 영역에서의 전달 함수를 찾고 그 크기와 인자 (또는 위상)를 그래프로 표시하세요.
예제 3의 해결
식을 보다 쉽게 조작하기 위해
\[ s = j \omega \]
로 놓고 캐패시터 \( C_1 \) 및 \( C_2 \)의 임피던스를 다음과 같이 \( s \)의 함수로 표현합니다.
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
그리고
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
이제 키르히호프의 전류 및 전압 및 오머의 법칙을 사용하여 방정식을 작성합니다.
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) 상단 노드의 키르히호프의 전류 법칙
\( V_{in} = R_1 I + Z_{c_1} I_1 \qquad (II)\) 왼쪽에서 닫힌 루프에 대한 키르히호프의 전압 법칙
\( Z_{c_1} I_1 = (Z_{c_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\) 오른쪽에서 닫힌 루프에 대한 키르히호프의 전압 법칙
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\) \( R_2 \)를 가로질러 전압의 오머 법칙
방정식 (II)와 (IV)를 사용하여 주파수 영역에서의 전압 전달 함수 \( H(\omega ) \)를 다음과 같이 씁니다.
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{c_1} I_1} \)
방정식 (I)을 사용하여 \( H(\omega)\)에서 \( I \)을 \( I_1 + I_2 \)로 대체합니다.
\( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 ( I_1 + I_2) + Z_{c_1} I_1} \)
위의 분자와 분모를 \( I_2 \)로 나누고 단순화하여 다음과 같이 다시 씁니다.
\( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{c_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
방정식 (III)을 사용하여
\( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \)
\( (IV) \)에 \( \dfrac{I_1}{I_2} \)를 \( \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \)로 대체하고 \( H(\omega) \)를 얻기 위해 재배열합니다.
부분 C
아래 회로의 주파수 영역에서의 전달 함수를 찾기 위해 두 개의 연속된 회로의 공식을 적용하세요.
위 문제에 대한 해결책
부분 A
\( s = j \; \omega \)
로 놓고, \( Z_C = \dfrac{1}{C \; s} \) 캐패시터 \( C \)의 임피던스 및 \( Z_L = L \; s \) 인덕터 \( L \)의 임피던스를 표현하세요.
\( Z_C \)와 병렬로 있는 \( Z_L \)에 해당하는 임피던스 \( Z \)는 다음과 같습니다.
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\( Z = \dfrac{Z_C \; Z_L}{ Z_C + Z_L } \)
전압 \( V_{out} \)은 다음과 같습니다.
\( V_{out} = \dfrac { V_{in}}{ Z + R } R \)
전달 함수는 다음과 같습니다.
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R} \)
\( Z \)를 \( C \)와 \( L \)의 식으로 계산하세요.
\( Z = \dfrac{ \dfrac{1}{C \; s} \; L \; s }{ \dfrac{1}{C \; s} + L \; s } = \dfrac{L \; s}{ 1 + L \; C \; s^2} \)
위의 식을 \( H(\omega) \)에 대입하여 다음을 얻으세요.
\( H(s) = \dfrac{R (1 + L \; C \; s^2)}{L \; s + R \; (1 + L \; C \; s^2)} \\\\
\quad = \dfrac{R\;L\;C \; s^2 + R}{R\;L\;C s^2 + L\;S + R}
\)
\( s = j \omega \)로 대체하여 얻으세요
\[ H(\omega) = \dfrac{R\;L\;C \; \omega^2 + R}{-R\;L\;C \; \omega^2 + R + j \; \omega L } \]
부분 B
\[ s = j \omega \]
로 놓고, 캐패시터 \( C_1 \) 및 \( C_2 \)의 임피던스를 다음과 같이 표현하세요
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
그리고
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
키르히호프의 전류와 전압 및 오머의 법칙을 사용하여 위와 유사한 방식으로 4개의 방정식을 작성하고 해를 구하여 전달 함수를 얻으세요.
\( H(s) = \dfrac{R_1 \; C_1 \; s }{(R_1 \; C_1 \; s + 1)(R_2 \; C_2 \; s + 1) + R_1 \; C_2 \; s } \qquad (I) \)
