오차 함수 \( \text{Erf} \; (x) \)는 다음과 같이 정의됩니다. [4]
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \]
컴퓨터 프로그램을 사용하여 \( \text{Erf} \; (x) \)를 쉽게 계산할 수 있습니다.
구글 시트를 사용하여 구간 \( x \in [-3 \; , \; 3] \)의 \( \text{Erf} (x) \)의 값 표가 아래에 나와 있습니다. (아래로 스크롤할 수도 있습니다).
위의 정의 및 그래프에서, \( \text{Erf} \; (x) \)가 홀 함수이므로 다음과 같이 말할 수 있습니다.
랜덤 변수 \( X \)의 정규 밀도 함수 는 평균 \( \mu \) 및 표준 편차 \( \sigma \)로 주어집니다. [1] [2] [3] [4].
\[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x -\mu}{\sigma} \right)^2 } \qquad (I) \]
그래프는 아래와 같이 표시됩니다.
이제 위에서 정의한 정규 분포의 누적 분포 함수와 다음과 같이 주어지는 오차 함수 간의 관계를 개발합니다.
\[ F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{t -\mu}{\sigma} \right)^2 } dt \qquad (III) \]
및 다음과 같이 정의된 오차 함수와의 관계
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \qquad (IV) \]
여기서 \( z = \dfrac{t-\mu}{\sigma \sqrt 2} \)로 두고 따라서 \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} \) 또는 \( dz = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} dt \)
위를 \( (III) \)에 대입하고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{-\infty}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \]
적분 구간을 분할하고 \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{-\infty}^{0} \; e^{-z^2 } dz + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
이제 가우시안 적분 가우시안 적분 을 사용합니다.
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]
그리고 \( e^{-x^2} \)는 홀 함수이므로 다음이 성립합니다.
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \]
가우시안 적분을 사용하여 다음을 씁니다.
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt {\pi}}{2}\]
\( (V) \)에 대입하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
\( (IV) \)를 사용하여 다음을 쓸 수 있습니다. \( \displaystyle \int_0^{\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right)} \; e^{-t^2} \; dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \) 이것을 위의 \( (V) \)에 대입하여 다음을 씁니다.
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right) \qquad (V) \]
단순화하고 \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \)와 \( \text{Erf}
\; (x) \) 사이의 관계를 다음과 같이 씁니다:
\[ \boxed {\displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 } \left( 1 + \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right)} \]
따라서 정규 분포 누적 함수 \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \)는 오차 함수 \( \text{Erf} (x) \)를 사용하여 계산할 수 있습니다.