상수 계수를 가진 이차 미분 방정식 을 풀기 위한 인터랙티브 계산기가 제공됩니다.
상수 계수 \( a \), \( b \), \( c \)를 가진 선형 이차 동차 미분 방정식은 다음과 같은 일반 형태를 가집니다 [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
보조 방정식(또는 특성 방정식)을 사용하여 이 미분 방정식을 풀기 위해, 먼저 \( y(t) = e^{rt} \) 형태의 해를 가정하고, 이를 \( y'(t) = r e^{rt} \) 및 \( y''(t) = r^2 e^{rt} \)로 대입하여 보조 방정식을 찾습니다.
\( y(t) \), \( y'(t)\), \( y''(t) \)을 미분 방정식에 대입하고, 이를 인수분해합니다.
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
\( e^{rt} \)는 0이 될 수 없으므로, 미분 방정식에 해당하는 보조 방정식 은 다음과 같습니다:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. 보조 방정식을 작성합니다:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
보조 방정식의 근의 성질은 해의 동작을 결정합니다:
\( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - \( \Delta > 0 \) 인 경우, 근
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) 및 \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
은 서로 다른 실수입니다. 일반 해는 다음과 같은 지수 함수로 이루어집니다.
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
여기서 \( C_1 \) 및 \( C_2 \)는 초기 조건을 사용하여 결정되는 상수입니다.
2 - \( \Delta = 0 \) 인 경우, 근 \( r_1 \) 및 \( r_2 \)는 실수이며 \( -\dfrac{b}{2 \; a} \)와 같습니다. 일반 해는 \( t \)에 대한 선형 함수와 지수 함수의 곱으로 이루어집니다.
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
여기서 \( C_1 \) 및 \( C_2 \)는 초기 또는 경계 조건에 따라 결정되는 상수입니다.
3 - \( \Delta \lt 0 \) 인 경우, 근 \( r_1 \) 및 \( r_2 \)는 다음과 같은 복소수 쌍으로 이루어집니다:
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) 및 \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
이차 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같은 사인 및 코사인 함수로 이루어집니다.
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
여기서
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) 및 \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
그리고 \( C_1 \) 및 \( C_2 \)는 초기 또는 경계 조건에 따라 결정되는 상수입니다.
계수 \( a, b , c \)와 초기 조건 \( y(0) \) 및 \( y'(0) \)을 실수로 입력하고 "해결" 버튼을 누릅니다.
해결